MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgpt1 21831
Description: Hausdorff and T1 are equivalent for topological groups. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tgpt1.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
tgpt1 (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))

Proof of Theorem tgpt1
StepHypRef Expression
1 haust1 21066 . 2 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)
2 tgpgrp 21792 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
3 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4 eqid 2621 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
53, 4grpidcl 17371 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
62, 5syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp → (0g𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
7 tgpt1.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
87, 3tgptopon 21796 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
9 toponuni 20642 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)) → (Base‘𝐺) = 𝐽)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp → (Base‘𝐺) = 𝐽)
116, 10eleqtrd 2700 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp → (0g𝐺) ∈ 𝐽)
12 eqid 2621 . . . . . 6 𝐽 = 𝐽
1312t1sncld 21040 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Fre ∧ (0g𝐺) ∈ 𝐽) → {(0g𝐺)} ∈ (Clsd‘𝐽))
1413expcom 451 . . . 4 ((0g𝐺) ∈ 𝐽 → (𝐽 ∈ Fre → {(0g𝐺)} ∈ (Clsd‘𝐽)))
1511, 14syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Fre → {(0g𝐺)} ∈ (Clsd‘𝐽)))
164, 7tgphaus 21830 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Haus ↔ {(0g𝐺)} ∈ (Clsd‘𝐽)))
1715, 16sylibrd 249 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Haus))
181, 17impbid2 216 1 (𝐺 ∈ TopGrp → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1480  wcel 1987  {csn 4148   cuni 4402  cfv 5847  Basecbs 15781  TopOpenctopn 16003  0gc0g 16021  Grpcgrp 17343  TopOnctopon 20618  Clsdccld 20730  Frect1 21021  Hauscha 21022  TopGrpctgp 21785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-map 7804  df-0g 16023  df-topgen 16025  df-plusf 17162  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-cn 20941  df-t1 21028  df-haus 21029  df-tx 21275  df-tmd 21786  df-tgp 21787
This theorem is referenced by:  tgpt0  21832
  Copyright terms: Public domain W3C validator