Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgrpabl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgrpabl 34860
Description: The translation group is an Abelian group. Lemma G of [Crawley] p. 116. (Contributed by NM, 6-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tgrpgrp.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tgrpgrp.g 𝐺 = ((TGrp‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tgrpabl ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem tgrpabl
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgrpgrp.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 eqid 2609 . . . 4 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 tgrpgrp.g . . . 4 𝐺 = ((TGrp‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2609 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
51, 2, 3, 4tgrpbase 34855 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝐺) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
65eqcomd 2615 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘𝐺))
7 eqidd 2610 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (+g𝐺) = (+g𝐺))
81, 3tgrpgrp 34859 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)
91, 2ltrncom 34847 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑓𝑔) = (𝑔𝑓))
10 eqid 2609 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
111, 2, 3, 10tgrpov 34857 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑓(+g𝐺)𝑔) = (𝑓𝑔))
12113expa 1256 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑓(+g𝐺)𝑔) = (𝑓𝑔))
13123impb 1251 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑓(+g𝐺)𝑔) = (𝑓𝑔))
141, 2, 3, 10tgrpov 34857 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑔(+g𝐺)𝑓) = (𝑔𝑓))
15143expa 1256 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑔(+g𝐺)𝑓) = (𝑔𝑓))
16153impb 1251 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑔(+g𝐺)𝑓) = (𝑔𝑓))
17163com23 1262 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑔(+g𝐺)𝑓) = (𝑔𝑓))
189, 13, 173eqtr4d 2653 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑓(+g𝐺)𝑔) = (𝑔(+g𝐺)𝑓))
196, 7, 8, 18isabld 17975 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐺 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  ccom 5032  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  +gcplusg 15714  Abelcabl 17963  HLchlt 33458  LHypclh 34091  LTrncltrn 34208  TGrpctgrp 34851
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-riotaBAD 33060
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-undef 7263  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-plusg 15727  df-0g 15871  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p0 16808  df-p1 16809  df-lat 16815  df-clat 16877  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-grp 17194  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-oposet 33284  df-ol 33286  df-oml 33287  df-covers 33374  df-ats 33375  df-atl 33406  df-cvlat 33430  df-hlat 33459  df-llines 33605  df-lplanes 33606  df-lvols 33607  df-lines 33608  df-psubsp 33610  df-pmap 33611  df-padd 33903  df-lhyp 34095  df-laut 34096  df-ldil 34211  df-ltrn 34212  df-trl 34267  df-tgrp 34852
This theorem is referenced by:  dvaabl  35134
  Copyright terms: Public domain W3C validator