Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgrpgrplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgrpgrplem 35517
Description: Lemma for tgrpgrp 35518. (Contributed by NM, 6-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tgrpset.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tgrpset.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tgrpset.g 𝐺 = ((TGrp‘𝐾)‘𝑊)
tgrp.o + = (+g𝐺)
tgrp.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
tgrpgrplem ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem tgrpgrplem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgrpset.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 tgrpset.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 tgrpset.g . . . 4 𝐺 = ((TGrp‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2621 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
51, 2, 3, 4tgrpbase 35514 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝐺) = 𝑇)
65eqcomd 2627 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑇 = (Base‘𝐺))
7 tgrp.o . . 3 + = (+g𝐺)
87a1i 11 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → + = (+g𝐺))
91, 2, 3, 7tgrpov 35516 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥𝑦))
1093expa 1262 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥𝑦))
11103impb 1257 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑇𝑦𝑇) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥𝑦))
121, 2ltrnco 35487 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑇𝑦𝑇) → (𝑥𝑦) ∈ 𝑇)
1311, 12eqeltrd 2698 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑇𝑦𝑇) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑇)
14 coass 5613 . . 3 ((𝑥𝑦) ∘ 𝑧) = (𝑥 ∘ (𝑦𝑧))
15 simpll 789 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇𝑧𝑇)) → 𝐾 ∈ HL)
16 simplr 791 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇𝑧𝑇)) → 𝑊𝐻)
17 simpr1 1065 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇𝑧𝑇)) → 𝑥𝑇)
18 simpr2 1066 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇𝑧𝑇)) → 𝑦𝑇)
1915, 16, 17, 18, 9syl112anc 1327 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥𝑦))
2019oveq1d 6619 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇𝑧𝑇)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = ((𝑥𝑦) + 𝑧))
21 simpl 473 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2221, 17, 18, 12syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝑥𝑦) ∈ 𝑇)
23 simpr3 1067 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇𝑧𝑇)) → 𝑧𝑇)
241, 2, 3, 7tgrpov 35516 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ((𝑥𝑦) ∈ 𝑇𝑧𝑇)) → ((𝑥𝑦) + 𝑧) = ((𝑥𝑦) ∘ 𝑧))
2515, 16, 22, 23, 24syl112anc 1327 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇𝑧𝑇)) → ((𝑥𝑦) + 𝑧) = ((𝑥𝑦) ∘ 𝑧))
2620, 25eqtrd 2655 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇𝑧𝑇)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = ((𝑥𝑦) ∘ 𝑧))
271, 2, 3, 7tgrpov 35516 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦𝑧))
2815, 16, 18, 23, 27syl112anc 1327 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦𝑧))
2928oveq2d 6620 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)) = (𝑥 + (𝑦𝑧)))
301, 2ltrnco 35487 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑦𝑇𝑧𝑇) → (𝑦𝑧) ∈ 𝑇)
3121, 18, 23, 30syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝑦𝑧) ∈ 𝑇)
321, 2, 3, 7tgrpov 35516 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑥𝑇 ∧ (𝑦𝑧) ∈ 𝑇)) → (𝑥 + (𝑦𝑧)) = (𝑥 ∘ (𝑦𝑧)))
3315, 16, 17, 31, 32syl112anc 1327 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝑥 + (𝑦𝑧)) = (𝑥 ∘ (𝑦𝑧)))
3429, 33eqtrd 2655 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)) = (𝑥 ∘ (𝑦𝑧)))
3514, 26, 343eqtr4a 2681 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇𝑧𝑇)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
36 tgrp.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
3736, 1, 2idltrn 34916 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
38 simpll 789 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
39 simplr 791 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑊𝐻)
4037adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑇) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
41 simpr 477 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥𝑇)
421, 2, 3, 7tgrpov 35516 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇𝑥𝑇)) → (( I ↾ 𝐵) + 𝑥) = (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑥))
4338, 39, 40, 41, 42syl112anc 1327 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑇) → (( I ↾ 𝐵) + 𝑥) = (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑥))
4436, 1, 2ltrn1o 34890 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥:𝐵1-1-onto𝐵)
45 f1of 6094 . . . 4 (𝑥:𝐵1-1-onto𝐵𝑥:𝐵𝐵)
46 fcoi2 6036 . . . 4 (𝑥:𝐵𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑥) = 𝑥)
4744, 45, 463syl 18 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑇) → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑥) = 𝑥)
4843, 47eqtrd 2655 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑇) → (( I ↾ 𝐵) + 𝑥) = 𝑥)
491, 2ltrncnv 34912 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥𝑇)
501, 2, 3, 7tgrpov 35516 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑥𝑇𝑥𝑇)) → (𝑥 + 𝑥) = (𝑥𝑥))
5138, 39, 49, 41, 50syl112anc 1327 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑇) → (𝑥 + 𝑥) = (𝑥𝑥))
52 f1ococnv1 6122 . . . 4 (𝑥:𝐵1-1-onto𝐵 → (𝑥𝑥) = ( I ↾ 𝐵))
5344, 52syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑇) → (𝑥𝑥) = ( I ↾ 𝐵))
5451, 53eqtrd 2655 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑇) → (𝑥 + 𝑥) = ( I ↾ 𝐵))
556, 8, 13, 35, 37, 48, 49, 54isgrpd 17365 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987   I cid 4984  ccnv 5073  cres 5076  ccom 5078  wf 5843  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  Grpcgrp 17343  HLchlt 34117  LHypclh 34750  LTrncltrn 34867  TGrpctgrp 35510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-riotaBAD 33719
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-undef 7344  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-p1 16961  df-lat 16967  df-clat 17029  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-oposet 33943  df-ol 33945  df-oml 33946  df-covers 34033  df-ats 34034  df-atl 34065  df-cvlat 34089  df-hlat 34118  df-llines 34264  df-lplanes 34265  df-lvols 34266  df-lines 34267  df-psubsp 34269  df-pmap 34270  df-padd 34562  df-lhyp 34754  df-laut 34755  df-ldil 34870  df-ltrn 34871  df-trl 34926  df-tgrp 35511
This theorem is referenced by:  tgrpgrp  35518
  Copyright terms: Public domain W3C validator