MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgsas1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgsas1 25425
Description: First congruence theorem: SAS (Side-Angle-Side): If two pairs of sides of two triangles are equal in length, and the included angles are equal in measurement, then third sides are equal in length. Theorem 11.49 of [Schwabhauser] p. 107. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
tgsas.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgsas.m = (dist‘𝐺)
tgsas.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgsas.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tgsas.a (𝜑𝐴𝑃)
tgsas.b (𝜑𝐵𝑃)
tgsas.c (𝜑𝐶𝑃)
tgsas.d (𝜑𝐷𝑃)
tgsas.e (𝜑𝐸𝑃)
tgsas.f (𝜑𝐹𝑃)
tgsas.1 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
tgsas.2 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
tgsas.3 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝐹))
Assertion
Ref Expression
tgsas1 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐹 𝐷))

Proof of Theorem tgsas1
StepHypRef Expression
1 tgsas.p . 2 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 tgsas.m . 2 = (dist‘𝐺)
3 tgsas.i . 2 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tgsas.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 tgsas.a . 2 (𝜑𝐴𝑃)
6 tgsas.c . 2 (𝜑𝐶𝑃)
7 tgsas.d . 2 (𝜑𝐷𝑃)
8 tgsas.f . 2 (𝜑𝐹𝑃)
9 eqid 2514 . . 3 (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
10 tgsas.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
11 tgsas.e . . 3 (𝜑𝐸𝑃)
12 tgsas.2 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
131, 3, 9, 4, 5, 10, 6, 7, 11, 8, 12cgrane1 25394 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
141, 3, 9, 5, 5, 10, 4, 13hlid 25194 . . 3 (𝜑𝐴((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝐴)
151, 3, 9, 4, 5, 10, 6, 7, 11, 8, 12cgrane2 25395 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐶)
1615necomd 2741 . . . 4 (𝜑𝐶𝐵)
171, 3, 9, 6, 5, 10, 4, 16hlid 25194 . . 3 (𝜑𝐶((hlG‘𝐺)‘𝐵)𝐶)
18 tgsas.1 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
191, 2, 3, 4, 5, 10, 7, 11, 18tgcgrcomlr 25064 . . 3 (𝜑 → (𝐵 𝐴) = (𝐸 𝐷))
20 tgsas.3 . . 3 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝐹))
211, 3, 9, 4, 5, 10, 6, 7, 11, 8, 12, 5, 2, 6, 14, 17, 19, 20cgracgr 25400 . 2 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 21tgcgrcomlr 25064 1 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐹 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1938   class class class wbr 4481  cfv 5689  (class class class)co 6426  ⟨“cs3 13297  Basecbs 15579  distcds 15661  TarskiGcstrkg 25018  Itvcitv 25024  hlGchlg 25185  cgrAccgra 25389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-1o 7323  df-oadd 7327  df-er 7505  df-map 7622  df-pm 7623  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-fin 7721  df-card 8524  df-cda 8749  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-nn 10776  df-2 10834  df-3 10835  df-n0 11048  df-z 11119  df-uz 11428  df-fz 12066  df-fzo 12203  df-hash 12848  df-word 13013  df-concat 13015  df-s1 13016  df-s2 13303  df-s3 13304  df-trkgc 25036  df-trkgb 25037  df-trkgcb 25038  df-trkg 25041  df-cgrg 25096  df-leg 25168  df-hlg 25186  df-cgra 25390
This theorem is referenced by:  tgsas  25426
  Copyright terms: Public domain W3C validator