Theorem thloc 20846

Description: Orthocomplement on the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
thlval.k	⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
thloc.c	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
thloc	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Proof of Theorem thloc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thlval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
2		eqid 2824	. . . . 5 ⊢ (ClSubSp‘𝑊) = (ClSubSp‘𝑊)
3		eqid 2824	. . . . 5 ⊢ (toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) = (toInc‘(ClSubSp‘𝑊))
4		thloc.c	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	thlval 20842	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ V → 𝐾 = ((toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) sSet ⟨(oc‘ndx), ⊥ ⟩))
6	5	fveq2d 6677	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (oc‘𝐾) = (oc‘((toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) sSet ⟨(oc‘ndx), ⊥ ⟩)))
7		fvex 6686	. . . 4 ⊢ (toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) ∈ V
8	4	fvexi 6687	. . . 4 ⊢ ⊥ ∈ V
9		ocid 16677	. . . . 5 ⊢ oc = Slot (oc‘ndx)
10	9	setsid 16541	. . . 4 ⊢ (((toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) ∈ V ∧ ⊥ ∈ V) → ⊥ = (oc‘((toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) sSet ⟨(oc‘ndx), ⊥ ⟩)))
11	7, 8, 10	mp2an 690	. . 3 ⊢ ⊥ = (oc‘((toInc‘(ClSubSp‘𝑊)) sSet ⟨(oc‘ndx), ⊥ ⟩))
12	6, 11	syl6reqr 2878	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → ⊥ = (oc‘𝐾))
13	9	str0 16538	. . 3 ⊢ ∅ = (oc‘∅)
14		fvprc 6666	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (ocv‘𝑊) = ∅)
15	4, 14	syl5eq 2871	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ⊥ = ∅)
16		fvprc 6666	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (toHL‘𝑊) = ∅)
17	1, 16	syl5eq 2871	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
18	17	fveq2d 6677	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (oc‘𝐾) = (oc‘∅))
19	13, 15, 18	3eqtr4a 2885	. 2 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ⊥ = (oc‘𝐾))
20	12, 19	pm2.61i 184	1 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  Vcvv 3497  ∅c0 4294  ⟨cop 4576  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  ndxcnx 16483   sSet csts 16484  occoc 16576  toInccipo 17764  ocvcocv 20807  ClSubSpccss 20808  toHLcthl 20809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-ltxr 10683  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-dec 12102  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-sets 16493  df-ocomp 16589  df-thl 20812

This theorem is referenced by: (None)