Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  thloc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem thloc 19962
 Description: Orthocomplement on the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
thlval.k 𝐾 = (toHL‘𝑊)
thloc.c = (ocv‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
thloc = (oc‘𝐾)

Proof of Theorem thloc
StepHypRef Expression
1 thlval.k . . . . 5 𝐾 = (toHL‘𝑊)
2 eqid 2621 . . . . 5 (CSubSp‘𝑊) = (CSubSp‘𝑊)
3 eqid 2621 . . . . 5 (toInc‘(CSubSp‘𝑊)) = (toInc‘(CSubSp‘𝑊))
4 thloc.c . . . . 5 = (ocv‘𝑊)
51, 2, 3, 4thlval 19958 . . . 4 (𝑊 ∈ V → 𝐾 = ((toInc‘(CSubSp‘𝑊)) sSet ⟨(oc‘ndx), ⟩))
65fveq2d 6152 . . 3 (𝑊 ∈ V → (oc‘𝐾) = (oc‘((toInc‘(CSubSp‘𝑊)) sSet ⟨(oc‘ndx), ⟩)))
7 fvex 6158 . . . 4 (toInc‘(CSubSp‘𝑊)) ∈ V
8 fvex 6158 . . . . 5 (ocv‘𝑊) ∈ V
94, 8eqeltri 2694 . . . 4 ∈ V
10 ocid 15982 . . . . 5 oc = Slot (oc‘ndx)
1110setsid 15835 . . . 4 (((toInc‘(CSubSp‘𝑊)) ∈ V ∧ ∈ V) → = (oc‘((toInc‘(CSubSp‘𝑊)) sSet ⟨(oc‘ndx), ⟩)))
127, 9, 11mp2an 707 . . 3 = (oc‘((toInc‘(CSubSp‘𝑊)) sSet ⟨(oc‘ndx), ⟩))
136, 12syl6reqr 2674 . 2 (𝑊 ∈ V → = (oc‘𝐾))
1410str0 15832 . . 3 ∅ = (oc‘∅)
15 fvprc 6142 . . . 4 𝑊 ∈ V → (ocv‘𝑊) = ∅)
164, 15syl5eq 2667 . . 3 𝑊 ∈ V → = ∅)
17 fvprc 6142 . . . . 5 𝑊 ∈ V → (toHL‘𝑊) = ∅)
181, 17syl5eq 2667 . . . 4 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
1918fveq2d 6152 . . 3 𝑊 ∈ V → (oc‘𝐾) = (oc‘∅))
2014, 16, 193eqtr4a 2681 . 2 𝑊 ∈ V → = (oc‘𝐾))
2113, 20pm2.61i 176 1 = (oc‘𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186  ∅c0 3891  ⟨cop 4154  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ndxcnx 15778   sSet csts 15779  occoc 15870  toInccipo 17072  ocvcocv 19923  CSubSpccss 19924  toHLcthl 19925 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-ltxr 10023  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-dec 11438  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-sets 15787  df-ocomp 15884  df-thl 19928 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator