MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmsxps Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tmsxps 22335
Description: Express the product of two metrics as another metric. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmsxps.p 𝑃 = (dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
tmsxps.1 (𝜑𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
tmsxps.2 (𝜑𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
Assertion
Ref Expression
tmsxps (𝜑𝑃 ∈ (∞Met‘(𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem tmsxps
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . . 5 ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) = ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))
2 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘(toMetSp‘𝑀)) = (Base‘(toMetSp‘𝑀))
3 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘(toMetSp‘𝑁)) = (Base‘(toMetSp‘𝑁))
4 tmsxps.1 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
5 eqid 2621 . . . . . . 7 (toMetSp‘𝑀) = (toMetSp‘𝑀)
65tmsxms 22285 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp)
74, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp)
8 tmsxps.2 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
9 eqid 2621 . . . . . . 7 (toMetSp‘𝑁) = (toMetSp‘𝑁)
109tmsxms 22285 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → (toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp)
118, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp)
12 tmsxps.p . . . . 5 𝑃 = (dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
131, 2, 3, 7, 11, 12xpsdsfn2 22177 . . . 4 (𝜑𝑃 Fn ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))
14 fnresdm 5998 . . . 4 (𝑃 Fn ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))) → (𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))) = 𝑃)
1513, 14syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))) = 𝑃)
161xpsxms 22333 . . . . 5 (((toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp ∧ (toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp) → ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) ∈ ∞MetSp)
177, 11, 16syl2anc 693 . . . 4 (𝜑 → ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) ∈ ∞MetSp)
18 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) = (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
1918, 12xmsxmet2 22258 . . . 4 (((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) ∈ ∞MetSp → (𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))) ∈ (∞Met‘(Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))
2017, 19syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ↾ ((Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))) × (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))) ∈ (∞Met‘(Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))
2115, 20eqeltrrd 2701 . 2 (𝜑𝑃 ∈ (∞Met‘(Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))
225tmsbas 22282 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘(toMetSp‘𝑀)))
234, 22syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋 = (Base‘(toMetSp‘𝑀)))
249tmsbas 22282 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝑌 = (Base‘(toMetSp‘𝑁)))
258, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑌 = (Base‘(toMetSp‘𝑁)))
2623, 25xpeq12d 5138 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁))))
271, 2, 3, 7, 11xpsbas 16228 . . . 4 (𝜑 → ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁))) = (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))
2826, 27eqtrd 2655 . . 3 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))))
2928fveq2d 6193 . 2 (𝜑 → (∞Met‘(𝑋 × 𝑌)) = (∞Met‘(Base‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))))
3021, 29eleqtrrd 2703 1 (𝜑𝑃 ∈ (∞Met‘(𝑋 × 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1482  wcel 1989   × cxp 5110  cres 5114   Fn wfn 5881  cfv 5886  (class class class)co 6647  Basecbs 15851  distcds 15944   ×s cxps 16160  ∞Metcxmt 19725  ∞MetSpcxme 22116  toMetSpctmt 22118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-iin 4521  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-of 6894  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-supp 7293  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-2o 7558  df-oadd 7561  df-er 7739  df-map 7856  df-ixp 7906  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-fsupp 8273  df-fi 8314  df-sup 8345  df-inf 8346  df-oi 8412  df-card 8762  df-cda 8987  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-9 11083  df-n0 11290  df-z 11375  df-dec 11491  df-uz 11685  df-q 11786  df-rp 11830  df-xneg 11943  df-xadd 11944  df-xmul 11945  df-icc 12179  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-seq 12797  df-hash 13113  df-struct 15853  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-ress 15859  df-plusg 15948  df-mulr 15949  df-sca 15951  df-vsca 15952  df-ip 15953  df-tset 15954  df-ple 15955  df-ds 15958  df-hom 15960  df-cco 15961  df-rest 16077  df-topn 16078  df-0g 16096  df-gsum 16097  df-topgen 16098  df-pt 16099  df-prds 16102  df-xrs 16156  df-qtop 16161  df-imas 16162  df-xps 16164  df-mre 16240  df-mrc 16241  df-acs 16243  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-submnd 17330  df-mulg 17535  df-cntz 17744  df-cmn 18189  df-psmet 19732  df-xmet 19733  df-bl 19735  df-mopn 19736  df-top 20693  df-topon 20710  df-topsp 20731  df-bases 20744  df-xms 22119  df-tms 22121
This theorem is referenced by:  txmetcnp  22346
  Copyright terms: Public domain W3C validator