Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngds 22371
 Description: The metric function of a structure augmented with a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngds.2 = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
tngds (𝑁𝑉 → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))

Proof of Theorem tngds
StepHypRef Expression
1 dsid 15991 . . . 4 dist = Slot (dist‘ndx)
2 9re 11058 . . . . . 6 9 ∈ ℝ
3 1nn 10982 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
4 2nn0 11260 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
5 9nn0 11267 . . . . . . 7 9 ∈ ℕ0
6 9lt10 11624 . . . . . . 7 9 < 10
73, 4, 5, 6declti 11497 . . . . . 6 9 < 12
82, 7gtneii 10100 . . . . 5 12 ≠ 9
9 dsndx 15990 . . . . . 6 (dist‘ndx) = 12
10 tsetndx 15968 . . . . . 6 (TopSet‘ndx) = 9
119, 10neeq12i 2856 . . . . 5 ((dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ↔ 12 ≠ 9)
128, 11mpbir 221 . . . 4 (dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
131, 12setsnid 15843 . . 3 (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩)) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ))⟩))
14 tngds.2 . . . . . 6 = (-g𝐺)
15 fvex 6163 . . . . . 6 (-g𝐺) ∈ V
1614, 15eqeltri 2694 . . . . 5 ∈ V
17 coexg 7071 . . . . 5 ((𝑁𝑉 ∈ V) → (𝑁 ) ∈ V)
1816, 17mpan2 706 . . . 4 (𝑁𝑉 → (𝑁 ) ∈ V)
191setsid 15842 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ (𝑁 ) ∈ V) → (𝑁 ) = (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩)))
2018, 19sylan2 491 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝑁 ) = (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩)))
21 tngbas.t . . . . 5 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
22 eqid 2621 . . . . 5 (𝑁 ) = (𝑁 )
23 eqid 2621 . . . . 5 (MetOpen‘(𝑁 )) = (MetOpen‘(𝑁 ))
2421, 14, 22, 23tngval 22362 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ))⟩))
2524fveq2d 6157 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (dist‘𝑇) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ))⟩)))
2613, 20, 253eqtr4a 2681 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))
27 co02 5613 . . . . 5 (𝑁 ∘ ∅) = ∅
28 df-ds 15892 . . . . . 6 dist = Slot 12
2928str0 15839 . . . . 5 ∅ = (dist‘∅)
3027, 29eqtri 2643 . . . 4 (𝑁 ∘ ∅) = (dist‘∅)
31 fvprc 6147 . . . . . 6 𝐺 ∈ V → (-g𝐺) = ∅)
3214, 31syl5eq 2667 . . . . 5 𝐺 ∈ V → = ∅)
3332coeq2d 5249 . . . 4 𝐺 ∈ V → (𝑁 ) = (𝑁 ∘ ∅))
34 reldmtng 22361 . . . . . . 7 Rel dom toNrmGrp
3534ovprc1 6644 . . . . . 6 𝐺 ∈ V → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
3621, 35syl5eq 2667 . . . . 5 𝐺 ∈ V → 𝑇 = ∅)
3736fveq2d 6157 . . . 4 𝐺 ∈ V → (dist‘𝑇) = (dist‘∅))
3830, 33, 373eqtr4a 2681 . . 3 𝐺 ∈ V → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))
3938adantr 481 . 2 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))
4026, 39pm2.61ian 830 1 (𝑁𝑉 → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  Vcvv 3189  ∅c0 3896  ⟨cop 4159   ∘ ccom 5083  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  1c1 9888  2c2 11021  9c9 11028  ;cdc 11444  ndxcnx 15785   sSet csts 15786  TopSetcts 15875  distcds 15878  -gcsg 17352  MetOpencmopn 19664   toNrmGrp ctng 22302 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-sets 15794  df-tset 15888  df-ds 15892  df-tng 22308 This theorem is referenced by:  tngtset  22372  tngtopn  22373  tngnm  22374  tngngp2  22375  tngngpd  22376  nrmtngdist  22380  tngnrg  22397  cnindmet  22881  tchds  22949
 Copyright terms: Public domain W3C validator