MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngds 22371
Description: The metric function of a structure augmented with a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngds.2 = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
tngds (𝑁𝑉 → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))

Proof of Theorem tngds
StepHypRef Expression
1 dsid 15991 . . . 4 dist = Slot (dist‘ndx)
2 9re 11058 . . . . . 6 9 ∈ ℝ
3 1nn 10982 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
4 2nn0 11260 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
5 9nn0 11267 . . . . . . 7 9 ∈ ℕ0
6 9lt10 11624 . . . . . . 7 9 < 10
73, 4, 5, 6declti 11497 . . . . . 6 9 < 12
82, 7gtneii 10100 . . . . 5 12 ≠ 9
9 dsndx 15990 . . . . . 6 (dist‘ndx) = 12
10 tsetndx 15968 . . . . . 6 (TopSet‘ndx) = 9
119, 10neeq12i 2856 . . . . 5 ((dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ↔ 12 ≠ 9)
128, 11mpbir 221 . . . 4 (dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
131, 12setsnid 15843 . . 3 (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩)) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ))⟩))
14 tngds.2 . . . . . 6 = (-g𝐺)
15 fvex 6163 . . . . . 6 (-g𝐺) ∈ V
1614, 15eqeltri 2694 . . . . 5 ∈ V
17 coexg 7071 . . . . 5 ((𝑁𝑉 ∈ V) → (𝑁 ) ∈ V)
1816, 17mpan2 706 . . . 4 (𝑁𝑉 → (𝑁 ) ∈ V)
191setsid 15842 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ (𝑁 ) ∈ V) → (𝑁 ) = (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩)))
2018, 19sylan2 491 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝑁 ) = (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩)))
21 tngbas.t . . . . 5 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
22 eqid 2621 . . . . 5 (𝑁 ) = (𝑁 )
23 eqid 2621 . . . . 5 (MetOpen‘(𝑁 )) = (MetOpen‘(𝑁 ))
2421, 14, 22, 23tngval 22362 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ))⟩))
2524fveq2d 6157 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (dist‘𝑇) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ))⟩)))
2613, 20, 253eqtr4a 2681 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))
27 co02 5613 . . . . 5 (𝑁 ∘ ∅) = ∅
28 df-ds 15892 . . . . . 6 dist = Slot 12
2928str0 15839 . . . . 5 ∅ = (dist‘∅)
3027, 29eqtri 2643 . . . 4 (𝑁 ∘ ∅) = (dist‘∅)
31 fvprc 6147 . . . . . 6 𝐺 ∈ V → (-g𝐺) = ∅)
3214, 31syl5eq 2667 . . . . 5 𝐺 ∈ V → = ∅)
3332coeq2d 5249 . . . 4 𝐺 ∈ V → (𝑁 ) = (𝑁 ∘ ∅))
34 reldmtng 22361 . . . . . . 7 Rel dom toNrmGrp
3534ovprc1 6644 . . . . . 6 𝐺 ∈ V → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
3621, 35syl5eq 2667 . . . . 5 𝐺 ∈ V → 𝑇 = ∅)
3736fveq2d 6157 . . . 4 𝐺 ∈ V → (dist‘𝑇) = (dist‘∅))
3830, 33, 373eqtr4a 2681 . . 3 𝐺 ∈ V → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))
3938adantr 481 . 2 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))
4026, 39pm2.61ian 830 1 (𝑁𝑉 → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3189  c0 3896  cop 4159  ccom 5083  cfv 5852  (class class class)co 6610  1c1 9888  2c2 11021  9c9 11028  cdc 11444  ndxcnx 15785   sSet csts 15786  TopSetcts 15875  distcds 15878  -gcsg 17352  MetOpencmopn 19664   toNrmGrp ctng 22302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-sets 15794  df-tset 15888  df-ds 15892  df-tng 22308
This theorem is referenced by:  tngtset  22372  tngtopn  22373  tngnm  22374  tngngp2  22375  tngngpd  22376  nrmtngdist  22380  tngnrg  22397  cnindmet  22881  tchds  22949
  Copyright terms: Public domain W3C validator