MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tnglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tnglem 22616
Description: Lemma for tngbas 22617 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tnglem.2 𝐸 = Slot 𝐾
tnglem.3 𝐾 ∈ ℕ
tnglem.4 𝐾 < 9
Assertion
Ref Expression
tnglem (𝑁𝑉 → (𝐸𝐺) = (𝐸𝑇))

Proof of Theorem tnglem
StepHypRef Expression
1 tngbas.t . . . . 5 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
2 eqid 2748 . . . . 5 (-g𝐺) = (-g𝐺)
3 eqid 2748 . . . . 5 (𝑁 ∘ (-g𝐺)) = (𝑁 ∘ (-g𝐺))
4 eqid 2748 . . . . 5 (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺))) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))
51, 2, 3, 4tngval 22615 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))⟩))
65fveq2d 6344 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸𝑇) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))⟩)))
7 tnglem.2 . . . . . 6 𝐸 = Slot 𝐾
8 tnglem.3 . . . . . 6 𝐾 ∈ ℕ
97, 8ndxid 16056 . . . . 5 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
107, 8ndxarg 16055 . . . . . . . 8 (𝐸‘ndx) = 𝐾
118nnrei 11192 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ ℝ
1210, 11eqeltri 2823 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) ∈ ℝ
13 tnglem.4 . . . . . . . . 9 𝐾 < 9
1410, 13eqbrtri 4813 . . . . . . . 8 (𝐸‘ndx) < 9
15 1nn 11194 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
16 2nn0 11472 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
17 9nn0 11479 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℕ0
18 9lt10 11836 . . . . . . . . 9 9 < 10
1915, 16, 17, 18declti 11709 . . . . . . . 8 9 < 12
20 9re 11270 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℝ
21 1nn0 11471 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
2221, 16deccl 11675 . . . . . . . . . 10 12 ∈ ℕ0
2322nn0rei 11466 . . . . . . . . 9 12 ∈ ℝ
2412, 20, 23lttri 10326 . . . . . . . 8 (((𝐸‘ndx) < 9 ∧ 9 < 12) → (𝐸‘ndx) < 12)
2514, 19, 24mp2an 710 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) < 12
2612, 25ltneii 10313 . . . . . 6 (𝐸‘ndx) ≠ 12
27 dsndx 16235 . . . . . 6 (dist‘ndx) = 12
2826, 27neeqtrri 2993 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
299, 28setsnid 16088 . . . 4 (𝐸𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩))
3012, 14ltneii 10313 . . . . . 6 (𝐸‘ndx) ≠ 9
31 tsetndx 16213 . . . . . 6 (TopSet‘ndx) = 9
3230, 31neeqtrri 2993 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
339, 32setsnid 16088 . . . 4 (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))⟩))
3429, 33eqtri 2770 . . 3 (𝐸𝐺) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))⟩))
356, 34syl6reqr 2801 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸𝐺) = (𝐸𝑇))
367str0 16084 . . 3 ∅ = (𝐸‘∅)
37 fvprc 6334 . . . 4 𝐺 ∈ V → (𝐸𝐺) = ∅)
3837adantr 472 . . 3 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸𝐺) = ∅)
39 reldmtng 22614 . . . . . . 7 Rel dom toNrmGrp
4039ovprc1 6835 . . . . . 6 𝐺 ∈ V → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
4140adantr 472 . . . . 5 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
421, 41syl5eq 2794 . . . 4 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → 𝑇 = ∅)
4342fveq2d 6344 . . 3 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸𝑇) = (𝐸‘∅))
4436, 38, 433eqtr4a 2808 . 2 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸𝐺) = (𝐸𝑇))
4535, 44pm2.61ian 866 1 (𝑁𝑉 → (𝐸𝐺) = (𝐸𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  Vcvv 3328  c0 4046  cop 4315   class class class wbr 4792  ccom 5258  cfv 6037  (class class class)co 6801  cr 10098  1c1 10100   < clt 10237  cn 11183  2c2 11233  9c9 11240  cdc 11656  ndxcnx 16027   sSet csts 16028  Slot cslot 16029  TopSetcts 16120  distcds 16123  -gcsg 17596  MetOpencmopn 19909   toNrmGrp ctng 22555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-sets 16037  df-tset 16133  df-ds 16137  df-tng 22561
This theorem is referenced by:  tngbas  22617  tngplusg  22618  tngmulr  22620  tngsca  22621  tngvsca  22622  tngip  22623
  Copyright terms: Public domain W3C validator