Theorem tnglem 22616

Description: Lemma for tngbas 22617 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tnglem.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝐾
tnglem.3	⊢ 𝐾 ∈ ℕ
tnglem.4	⊢ 𝐾 < 9

Assertion

Ref	Expression
tnglem	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))

Proof of Theorem tnglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngbas.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
2		eqid 2748	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
3		eqid 2748	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))
4		eqid 2748	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))
5	1, 2, 3, 4	tngval 22615	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
6	5	fveq2d 6344	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩)))
7		tnglem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot 𝐾
8		tnglem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ
9	7, 8	ndxid 16056	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
10	7, 8	ndxarg 16055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝐾
11	8	nnrei 11192	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
12	10, 11	eqeltri 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℝ
13		tnglem.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 < 9
14	10, 13	eqbrtri 4813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) < 9
15		1nn 11194	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
16		2nn0 11472	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
17		9nn0 11479	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
18		9lt10 11836	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 < ;10
19	15, 16, 17, 18	declti 11709	. . . . . . . 8 ⊢ 9 < ;12
20		9re 11270	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℝ
21		1nn0 11471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
22	21, 16	deccl 11675	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
23	22	nn0rei 11466	. . . . . . . . 9 ⊢ ;12 ∈ ℝ
24	12, 20, 23	lttri 10326	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸‘ndx) < 9 ∧ 9 < ;12) → (𝐸‘ndx) < ;12)
25	14, 19, 24	mp2an 710	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) < ;12
26	12, 25	ltneii 10313	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ;12
27		dsndx 16235	. . . . . 6 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
28	26, 27	neeqtrri 2993	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
29	9, 28	setsnid 16088	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩))
30	12, 14	ltneii 10313	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 9
31		tsetndx 16213	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
32	30, 31	neeqtrri 2993	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
33	9, 32	setsnid 16088	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
34	29, 33	eqtri 2770	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
35	6, 34	syl6reqr 2801	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
36	7	str0 16084	. . 3 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
37		fvprc 6334	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = ∅)
38	37	adantr 472	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = ∅)
39		reldmtng 22614	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom toNrmGrp
40	39	ovprc1 6835	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
41	40	adantr 472	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
42	1, 41	syl5eq 2794	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 = ∅)
43	42	fveq2d 6344	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘∅))
44	36, 38, 43	3eqtr4a 2808	. 2 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
45	35, 44	pm2.61ian 866	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1620   ∈ wcel 2127  Vcvv 3328  ∅c0 4046  ⟨cop 4315   class class class wbr 4792   ∘ ccom 5258  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801  ℝcr 10098  1c1 10100   < clt 10237  ℕcn 11183  2c2 11233  9c9 11240  ;cdc 11656  ndxcnx 16027   sSet csts 16028  Slot cslot 16029  TopSetcts 16120  distcds 16123  -_gcsg 17596  MetOpencmopn 19909   toNrmGrp ctng 22555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-sets 16037  df-tset 16133  df-ds 16137  df-tng 22561

This theorem is referenced by:  tngbas  22617  tngplusg  22618  tngmulr  22620  tngsca  22621  tngvsca  22622  tngip  22623