Theorem tnglem 23243

Description: Lemma for tngbas 23244 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tnglem.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝐾
tnglem.3	⊢ 𝐾 ∈ ℕ
tnglem.4	⊢ 𝐾 < 9

Assertion

Ref	Expression
tnglem	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))

Proof of Theorem tnglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngbas.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
2		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
3		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))
4		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))
5	1, 2, 3, 4	tngval 23242	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
6	5	fveq2d 6668	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩)))
7		tnglem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot 𝐾
8		tnglem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ
9	7, 8	ndxid 16503	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
10	7, 8	ndxarg 16502	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝐾
11	8	nnrei 11641	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
12	10, 11	eqeltri 2909	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℝ
13		tnglem.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 < 9
14	10, 13	eqbrtri 5079	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) < 9
15		1nn 11643	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
16		2nn0 11908	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
17		9nn0 11915	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
18		9lt10 12223	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 < ;10
19	15, 16, 17, 18	declti 12130	. . . . . . . 8 ⊢ 9 < ;12
20		9re 11730	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℝ
21		1nn0 11907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
22	21, 16	deccl 12107	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
23	22	nn0rei 11902	. . . . . . . . 9 ⊢ ;12 ∈ ℝ
24	12, 20, 23	lttri 10760	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸‘ndx) < 9 ∧ 9 < ;12) → (𝐸‘ndx) < ;12)
25	14, 19, 24	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) < ;12
26	12, 25	ltneii 10747	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ;12
27		dsndx 16669	. . . . . 6 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
28	26, 27	neeqtrri 3089	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
29	9, 28	setsnid 16533	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩))
30	12, 14	ltneii 10747	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 9
31		tsetndx 16653	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
32	30, 31	neeqtrri 3089	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
33	9, 32	setsnid 16533	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
34	29, 33	eqtri 2844	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
35	6, 34	syl6reqr 2875	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
36	7	str0 16529	. . 3 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
37		fvprc 6657	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = ∅)
38	37	adantr 483	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = ∅)
39		reldmtng 23241	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom toNrmGrp
40	39	ovprc1 7189	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
41	40	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
42	1, 41	syl5eq 2868	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 = ∅)
43	42	fveq2d 6668	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘∅))
44	36, 38, 43	3eqtr4a 2882	. 2 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
45	35, 44	pm2.61ian 810	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494  ∅c0 4290  ⟨cop 4566   class class class wbr 5058   ∘ ccom 5553  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  1c1 10532   < clt 10669  ℕcn 11632  2c2 11686  9c9 11693  ;cdc 12092  ndxcnx 16474   sSet csts 16475  Slot cslot 16476  TopSetcts 16565  distcds 16568  -_gcsg 18099  MetOpencmopn 20529   toNrmGrp ctng 23182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-sets 16484  df-tset 16578  df-ds 16581  df-tng 23188

This theorem is referenced by:  tngbas  23244  tngplusg  23245  tngmulr  23247  tngsca  23248  tngvsca  23249  tngip  23250