Theorem tnglem 22349

Description: Lemma for tngbas 22350 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tnglem.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝐾
tnglem.3	⊢ 𝐾 ∈ ℕ
tnglem.4	⊢ 𝐾 < 9

Assertion

Ref	Expression
tnglem	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))

Proof of Theorem tnglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngbas.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
2		eqid 2626	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
3		eqid 2626	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))
4		eqid 2626	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))
5	1, 2, 3, 4	tngval 22348	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
6	5	fveq2d 6154	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩)))
7		tnglem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot 𝐾
8		tnglem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ
9	7, 8	ndxid 15800	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
10	7, 8	ndxarg 15799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝐾
11	8	nnrei 10974	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
12	10, 11	eqeltri 2700	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℝ
13		tnglem.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 < 9
14	10, 13	eqbrtri 4639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) < 9
15		1nn 10976	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
16		2nn0 11254	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
17		9nn0 11261	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
18		9lt10 11617	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 < ;10
19	15, 16, 17, 18	declti 11490	. . . . . . . 8 ⊢ 9 < ;12
20		9re 11052	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℝ
21		1nn0 11253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
22	21, 16	deccl 11456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
23	22	nn0rei 11248	. . . . . . . . 9 ⊢ ;12 ∈ ℝ
24	12, 20, 23	lttri 10108	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸‘ndx) < 9 ∧ 9 < ;12) → (𝐸‘ndx) < ;12)
25	14, 19, 24	mp2an 707	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) < ;12
26	12, 25	ltneii 10095	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ;12
27		dsndx 15978	. . . . . 6 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
28	26, 27	neeqtrri 2869	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
29	9, 28	setsnid 15831	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩))
30	12, 14	ltneii 10095	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 9
31		tsetndx 15956	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
32	30, 31	neeqtrri 2869	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
33	9, 32	setsnid 15831	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
34	29, 33	eqtri 2648	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
35	6, 34	syl6reqr 2679	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
36	7	str0 15827	. . 3 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
37		fvprc 6144	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = ∅)
38	37	adantr 481	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = ∅)
39		reldmtng 22347	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom toNrmGrp
40	39	ovprc1 6638	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
41	40	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
42	1, 41	syl5eq 2672	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 = ∅)
43	42	fveq2d 6154	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘∅))
44	36, 38, 43	3eqtr4a 2686	. 2 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
45	35, 44	pm2.61ian 830	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  Vcvv 3191  ∅c0 3896  ⟨cop 4159   class class class wbr 4618   ∘ ccom 5083  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  ℝcr 9880  1c1 9882   < clt 10019  ℕcn 10965  2c2 11015  9c9 11022  ;cdc 11437  ndxcnx 15773   sSet csts 15774  Slot cslot 15775  TopSetcts 15863  distcds 15866  -_gcsg 17340  MetOpencmopn 19650   toNrmGrp ctng 22288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-sets 15782  df-tset 15876  df-ds 15880  df-tng 22294

This theorem is referenced by:  tngbas  22350  tngplusg  22351  tngmulr  22353  tngsca  22354  tngvsca  22355  tngip  22356