MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tnglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tnglem 22349
Description: Lemma for tngbas 22350 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tnglem.2 𝐸 = Slot 𝐾
tnglem.3 𝐾 ∈ ℕ
tnglem.4 𝐾 < 9
Assertion
Ref Expression
tnglem (𝑁𝑉 → (𝐸𝐺) = (𝐸𝑇))

Proof of Theorem tnglem
StepHypRef Expression
1 tngbas.t . . . . 5 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
2 eqid 2626 . . . . 5 (-g𝐺) = (-g𝐺)
3 eqid 2626 . . . . 5 (𝑁 ∘ (-g𝐺)) = (𝑁 ∘ (-g𝐺))
4 eqid 2626 . . . . 5 (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺))) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))
51, 2, 3, 4tngval 22348 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))⟩))
65fveq2d 6154 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸𝑇) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))⟩)))
7 tnglem.2 . . . . . 6 𝐸 = Slot 𝐾
8 tnglem.3 . . . . . 6 𝐾 ∈ ℕ
97, 8ndxid 15800 . . . . 5 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
107, 8ndxarg 15799 . . . . . . . 8 (𝐸‘ndx) = 𝐾
118nnrei 10974 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ ℝ
1210, 11eqeltri 2700 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) ∈ ℝ
13 tnglem.4 . . . . . . . . 9 𝐾 < 9
1410, 13eqbrtri 4639 . . . . . . . 8 (𝐸‘ndx) < 9
15 1nn 10976 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
16 2nn0 11254 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
17 9nn0 11261 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℕ0
18 9lt10 11617 . . . . . . . . 9 9 < 10
1915, 16, 17, 18declti 11490 . . . . . . . 8 9 < 12
20 9re 11052 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℝ
21 1nn0 11253 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
2221, 16deccl 11456 . . . . . . . . . 10 12 ∈ ℕ0
2322nn0rei 11248 . . . . . . . . 9 12 ∈ ℝ
2412, 20, 23lttri 10108 . . . . . . . 8 (((𝐸‘ndx) < 9 ∧ 9 < 12) → (𝐸‘ndx) < 12)
2514, 19, 24mp2an 707 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) < 12
2612, 25ltneii 10095 . . . . . 6 (𝐸‘ndx) ≠ 12
27 dsndx 15978 . . . . . 6 (dist‘ndx) = 12
2826, 27neeqtrri 2869 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
299, 28setsnid 15831 . . . 4 (𝐸𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩))
3012, 14ltneii 10095 . . . . . 6 (𝐸‘ndx) ≠ 9
31 tsetndx 15956 . . . . . 6 (TopSet‘ndx) = 9
3230, 31neeqtrri 2869 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
339, 32setsnid 15831 . . . 4 (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))⟩))
3429, 33eqtri 2648 . . 3 (𝐸𝐺) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))⟩))
356, 34syl6reqr 2679 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸𝐺) = (𝐸𝑇))
367str0 15827 . . 3 ∅ = (𝐸‘∅)
37 fvprc 6144 . . . 4 𝐺 ∈ V → (𝐸𝐺) = ∅)
3837adantr 481 . . 3 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸𝐺) = ∅)
39 reldmtng 22347 . . . . . . 7 Rel dom toNrmGrp
4039ovprc1 6638 . . . . . 6 𝐺 ∈ V → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
4140adantr 481 . . . . 5 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
421, 41syl5eq 2672 . . . 4 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → 𝑇 = ∅)
4342fveq2d 6154 . . 3 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸𝑇) = (𝐸‘∅))
4436, 38, 433eqtr4a 2686 . 2 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸𝐺) = (𝐸𝑇))
4535, 44pm2.61ian 830 1 (𝑁𝑉 → (𝐸𝐺) = (𝐸𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  Vcvv 3191  c0 3896  cop 4159   class class class wbr 4618  ccom 5083  cfv 5850  (class class class)co 6605  cr 9880  1c1 9882   < clt 10019  cn 10965  2c2 11015  9c9 11022  cdc 11437  ndxcnx 15773   sSet csts 15774  Slot cslot 15775  TopSetcts 15863  distcds 15866  -gcsg 17340  MetOpencmopn 19650   toNrmGrp ctng 22288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-sets 15782  df-tset 15876  df-ds 15880  df-tng 22294
This theorem is referenced by:  tngbas  22350  tngplusg  22351  tngmulr  22353  tngsca  22354  tngvsca  22355  tngip  22356
  Copyright terms: Public domain W3C validator