MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngtopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngtopn 22373
Description: The topology generated by a normed structure. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngtset.2 𝐷 = (dist‘𝑇)
tngtset.3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
tngtopn ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → 𝐽 = (TopOpen‘𝑇))

Proof of Theorem tngtopn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tngbas.t . . 3 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
2 tngtset.2 . . 3 𝐷 = (dist‘𝑇)
3 tngtset.3 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
41, 2, 3tngtset 22372 . 2 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → 𝐽 = (TopSet‘𝑇))
5 df-mopn 19670 . . . . . . . . 9 MetOpen = (𝑥 ran ∞Met ↦ (topGen‘ran (ball‘𝑥)))
65dmmptss 5595 . . . . . . . 8 dom MetOpen ⊆ ran ∞Met
76sseli 3583 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ dom MetOpen → 𝐷 ran ∞Met)
8 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-g𝐺) = (-g𝐺)
91, 8tngds 22371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁𝑊 → (𝑁 ∘ (-g𝐺)) = (dist‘𝑇))
109, 2syl6eqr 2673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁𝑊 → (𝑁 ∘ (-g𝐺)) = 𝐷)
1110adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → (𝑁 ∘ (-g𝐺)) = 𝐷)
1211dmeqd 5291 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → dom (𝑁 ∘ (-g𝐺)) = dom 𝐷)
13 dmcoss 5350 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (𝑁 ∘ (-g𝐺)) ⊆ dom (-g𝐺)
14 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
15 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (+g𝐺) = (+g𝐺)
16 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (invg𝐺) = (invg𝐺)
1714, 15, 16, 8grpsubfval 17392 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-g𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑦)))
18 ovex 6638 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑦)) ∈ V
1917, 18dmmpt2 7192 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (-g𝐺) = ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))
2013, 19sseqtri 3621 . . . . . . . . . . . . . 14 dom (𝑁 ∘ (-g𝐺)) ⊆ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))
2112, 20syl6eqssr 3640 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → dom 𝐷 ⊆ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
2221adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → dom 𝐷 ⊆ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
23 dmss 5288 . . . . . . . . . . . 12 (dom 𝐷 ⊆ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)) → dom dom 𝐷 ⊆ dom ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → dom dom 𝐷 ⊆ dom ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
25 dmxpid 5310 . . . . . . . . . . 11 dom ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐺)
2624, 25syl6sseq 3635 . . . . . . . . . 10 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → dom dom 𝐷 ⊆ (Base‘𝐺))
27 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → 𝐷 ran ∞Met)
28 xmetunirn 22061 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
2927, 28sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
30 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
3130mopnuni 22165 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → dom dom 𝐷 = (MetOpen‘𝐷))
3229, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → dom dom 𝐷 = (MetOpen‘𝐷))
331, 14tngbas 22364 . . . . . . . . . . 11 (𝑁𝑊 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
3433ad2antlr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
3526, 32, 343sstr3d 3631 . . . . . . . . 9 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ (Base‘𝑇))
36 sspwuni 4582 . . . . . . . . 9 ((MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇) ↔ (MetOpen‘𝐷) ⊆ (Base‘𝑇))
3735, 36sylibr 224 . . . . . . . 8 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
3837ex 450 . . . . . . 7 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → (𝐷 ran ∞Met → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇)))
397, 38syl5 34 . . . . . 6 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → (𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇)))
40 ndmfv 6180 . . . . . . 7 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) = ∅)
41 0ss 3949 . . . . . . 7 ∅ ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇)
4240, 41syl6eqss 3639 . . . . . 6 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
4339, 42pm2.61d1 171 . . . . 5 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
443, 43syl5eqss 3633 . . . 4 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → 𝐽 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
454, 44eqsstr3d 3624 . . 3 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → (TopSet‘𝑇) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
46 eqid 2621 . . . 4 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
47 eqid 2621 . . . 4 (TopSet‘𝑇) = (TopSet‘𝑇)
4846, 47topnid 16024 . . 3 ((TopSet‘𝑇) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇) → (TopSet‘𝑇) = (TopOpen‘𝑇))
4945, 48syl 17 . 2 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → (TopSet‘𝑇) = (TopOpen‘𝑇))
504, 49eqtrd 2655 1 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → 𝐽 = (TopOpen‘𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3559  c0 3896  𝒫 cpw 4135   cuni 4407   × cxp 5077  dom cdm 5079  ran crn 5080  ccom 5083  cfv 5852  (class class class)co 6610  Basecbs 15788  +gcplusg 15869  TopSetcts 15875  distcds 15878  TopOpenctopn 16010  topGenctg 16026  invgcminusg 17351  -gcsg 17352  ∞Metcxmt 19659  ballcbl 19661  MetOpencmopn 19664   toNrmGrp ctng 22302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-sup 8299  df-inf 8300  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-q 11740  df-rp 11784  df-xneg 11897  df-xadd 11898  df-xmul 11899  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-tset 15888  df-ds 15892  df-rest 16011  df-topn 16012  df-topgen 16032  df-sbg 17355  df-psmet 19666  df-xmet 19667  df-bl 19669  df-mopn 19670  df-top 20627  df-topon 20644  df-bases 20670  df-tng 22308
This theorem is referenced by:  tngngp2  22375  tchtopn  22944
  Copyright terms: Public domain W3C validator