Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngtset Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngtset 22358
 Description: The topology generated by a normed structure. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngtset.2 𝐷 = (dist‘𝑇)
tngtset.3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
tngtset ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → 𝐽 = (TopSet‘𝑇))

Proof of Theorem tngtset
StepHypRef Expression
1 ovex 6633 . . 3 (𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩) ∈ V
2 fvex 6160 . . 3 (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺))) ∈ V
3 tsetid 15957 . . . 4 TopSet = Slot (TopSet‘ndx)
43setsid 15830 . . 3 (((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩) ∈ V ∧ (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺))) ∈ V) → (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺))) = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))⟩)))
51, 2, 4mp2an 707 . 2 (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺))) = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))⟩))
6 tngtset.3 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
7 tngbas.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
8 eqid 2626 . . . . . . 7 (-g𝐺) = (-g𝐺)
97, 8tngds 22357 . . . . . 6 (𝑁𝑊 → (𝑁 ∘ (-g𝐺)) = (dist‘𝑇))
10 tngtset.2 . . . . . 6 𝐷 = (dist‘𝑇)
119, 10syl6reqr 2679 . . . . 5 (𝑁𝑊𝐷 = (𝑁 ∘ (-g𝐺)))
1211adantl 482 . . . 4 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → 𝐷 = (𝑁 ∘ (-g𝐺)))
1312fveq2d 6154 . . 3 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺))))
146, 13syl5eq 2672 . 2 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → 𝐽 = (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺))))
15 eqid 2626 . . . 4 (𝑁 ∘ (-g𝐺)) = (𝑁 ∘ (-g𝐺))
16 eqid 2626 . . . 4 (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺))) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))
177, 8, 15, 16tngval 22348 . . 3 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))⟩))
1817fveq2d 6154 . 2 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → (TopSet‘𝑇) = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))⟩)))
195, 14, 183eqtr4a 2686 1 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → 𝐽 = (TopSet‘𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  Vcvv 3191  ⟨cop 4159   ∘ ccom 5083  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  ndxcnx 15773   sSet csts 15774  TopSetcts 15863  distcds 15866  -gcsg 17340  MetOpencmopn 19650   toNrmGrp ctng 22288 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-sets 15782  df-tset 15876  df-ds 15880  df-tng 22294 This theorem is referenced by:  tngtopn  22359
 Copyright terms: Public domain W3C validator