MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  toponmax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem toponmax 20643
Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
toponmax (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵𝐽)

Proof of Theorem toponmax
StepHypRef Expression
1 toponuni 20642 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = 𝐽)
2 topontop 20641 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
3 eqid 2621 . . . 4 𝐽 = 𝐽
43topopn 20636 . . 3 (𝐽 ∈ Top → 𝐽𝐽)
52, 4syl 17 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽𝐽)
61, 5eqeltrd 2698 1 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987   cuni 4402  cfv 5847  Topctop 20617  TopOnctopon 20618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fv 5855  df-top 20621  df-topon 20623
This theorem is referenced by:  topgele  20649  eltpsg  20660  en2top  20700  resttopon  20875  ordtrest  20916  ordtrest2lem  20917  ordtrest2  20918  lmfval  20946  cnpfval  20948  iscn  20949  iscnp  20951  lmbrf  20974  cncls  20988  cnconst2  20997  cnrest2  21000  cndis  21005  cnindis  21006  cnpdis  21007  lmfss  21010  lmres  21014  lmff  21015  ist1-3  21063  connsuba  21133  unconn  21142  kgenval  21248  elkgen  21249  kgentopon  21251  pttoponconst  21310  tx1cn  21322  tx2cn  21323  ptcls  21329  xkoccn  21332  txlm  21361  cnmpt2res  21390  xkoinjcn  21400  qtoprest  21430  ordthmeolem  21514  pt1hmeo  21519  xkocnv  21527  flimclslem  21698  flfval  21704  flfnei  21705  isflf  21707  flfcnp  21718  txflf  21720  supnfcls  21734  fclscf  21739  fclscmp  21744  fcfval  21747  isfcf  21748  uffcfflf  21753  cnpfcf  21755  mopnm  22159  isxms2  22163  prdsxmslem2  22244  bcth2  23035  dvmptid  23626  dvmptc  23627  dvtaylp  24028  taylthlem1  24031  taylthlem2  24032  pige3  24173  dvcxp1  24381  cxpcn3  24389  ordtrestNEW  29746  ordtrest2NEWlem  29747  ordtrest2NEW  29748  topjoin  31999  areacirclem1  33129
  Copyright terms: Public domain W3C validator