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Theorem toponmre 21099
Description: The topologies over a given base set form a Moore collection: the intersection of any family of them is a topology, including the empty (relative) intersection which gives the discrete topology distop 21001. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
toponmre (𝐵𝑉 → (TopOn‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))

Proof of Theorem toponmre
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 toponuni 20921 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = 𝑏)
2 eqimss2 3799 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝑏 𝑏𝐵)
3 sspwuni 4763 . . . . . . 7 (𝑏 ⊆ 𝒫 𝐵 𝑏𝐵)
42, 3sylibr 224 . . . . . 6 (𝐵 = 𝑏𝑏 ⊆ 𝒫 𝐵)
51, 4syl 17 . . . . 5 (𝑏 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝑏 ⊆ 𝒫 𝐵)
6 selpw 4309 . . . . 5 (𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵𝑏 ⊆ 𝒫 𝐵)
75, 6sylibr 224 . . . 4 (𝑏 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵)
87ssriv 3748 . . 3 (TopOn‘𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 𝐵
98a1i 11 . 2 (𝐵𝑉 → (TopOn‘𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 𝐵)
10 distopon 21003 . 2 (𝐵𝑉 → 𝒫 𝐵 ∈ (TopOn‘𝐵))
11 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵))
1211sselda 3744 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑏) → 𝑥 ∈ (TopOn‘𝐵))
1312adantrl 754 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥𝑏)) → 𝑥 ∈ (TopOn‘𝐵))
14 topontop 20920 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝑥 ∈ Top)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥𝑏)) → 𝑥 ∈ Top)
16 simpl 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 𝑏𝑥𝑏) → 𝑐 𝑏)
17 intss1 4644 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑏 𝑏𝑥)
1817adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 𝑏𝑥𝑏) → 𝑏𝑥)
1916, 18sstrd 3754 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 𝑏𝑥𝑏) → 𝑐𝑥)
2019adantl 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥𝑏)) → 𝑐𝑥)
21 uniopn 20904 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ Top ∧ 𝑐𝑥) → 𝑐𝑥)
2215, 20, 21syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥𝑏)) → 𝑐𝑥)
2322expr 644 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 𝑏) → (𝑥𝑏 𝑐𝑥))
2423ralrimiv 3103 . . . . . . . 8 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 𝑏) → ∀𝑥𝑏 𝑐𝑥)
25 vuniex 7119 . . . . . . . . 9 𝑐 ∈ V
2625elint2 4634 . . . . . . . 8 ( 𝑐 𝑏 ↔ ∀𝑥𝑏 𝑐𝑥)
2724, 26sylibr 224 . . . . . . 7 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 𝑏) → 𝑐 𝑏)
2827ex 449 . . . . . 6 ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → (𝑐 𝑏 𝑐 𝑏))
2928alrimiv 2004 . . . . 5 ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∀𝑐(𝑐 𝑏 𝑐 𝑏))
30 simpll 807 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥 𝑏)) → 𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵))
3130sselda 3744 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥 𝑏)) ∧ 𝑦𝑏) → 𝑦 ∈ (TopOn‘𝐵))
32 topontop 20920 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝑦 ∈ Top)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥 𝑏)) ∧ 𝑦𝑏) → 𝑦 ∈ Top)
34 intss1 4644 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑏 𝑏𝑦)
3534adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥 𝑏)) ∧ 𝑦𝑏) → 𝑏𝑦)
36 simplrl 819 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥 𝑏)) ∧ 𝑦𝑏) → 𝑐 𝑏)
3735, 36sseldd 3745 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥 𝑏)) ∧ 𝑦𝑏) → 𝑐𝑦)
38 simplrr 820 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥 𝑏)) ∧ 𝑦𝑏) → 𝑥 𝑏)
3935, 38sseldd 3745 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥 𝑏)) ∧ 𝑦𝑏) → 𝑥𝑦)
40 inopn 20906 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ Top ∧ 𝑐𝑦𝑥𝑦) → (𝑐𝑥) ∈ 𝑦)
4133, 37, 39, 40syl3anc 1477 . . . . . . . 8 ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥 𝑏)) ∧ 𝑦𝑏) → (𝑐𝑥) ∈ 𝑦)
4241ralrimiva 3104 . . . . . . 7 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥 𝑏)) → ∀𝑦𝑏 (𝑐𝑥) ∈ 𝑦)
43 vex 3343 . . . . . . . . 9 𝑐 ∈ V
4443inex1 4951 . . . . . . . 8 (𝑐𝑥) ∈ V
4544elint2 4634 . . . . . . 7 ((𝑐𝑥) ∈ 𝑏 ↔ ∀𝑦𝑏 (𝑐𝑥) ∈ 𝑦)
4642, 45sylibr 224 . . . . . 6 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥 𝑏)) → (𝑐𝑥) ∈ 𝑏)
4746ralrimivva 3109 . . . . 5 ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∀𝑐 𝑏𝑥 𝑏(𝑐𝑥) ∈ 𝑏)
48 intex 4969 . . . . . . . 8 (𝑏 ≠ ∅ ↔ 𝑏 ∈ V)
4948biimpi 206 . . . . . . 7 (𝑏 ≠ ∅ → 𝑏 ∈ V)
5049adantl 473 . . . . . 6 ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝑏 ∈ V)
51 istopg 20902 . . . . . 6 ( 𝑏 ∈ V → ( 𝑏 ∈ Top ↔ (∀𝑐(𝑐 𝑏 𝑐 𝑏) ∧ ∀𝑐 𝑏𝑥 𝑏(𝑐𝑥) ∈ 𝑏)))
5250, 51syl 17 . . . . 5 ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ( 𝑏 ∈ Top ↔ (∀𝑐(𝑐 𝑏 𝑐 𝑏) ∧ ∀𝑐 𝑏𝑥 𝑏(𝑐𝑥) ∈ 𝑏)))
5329, 47, 52mpbir2and 995 . . . 4 ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝑏 ∈ Top)
54533adant1 1125 . . 3 ((𝐵𝑉𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝑏 ∈ Top)
55 n0 4074 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝑏)
5655biimpi 206 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ≠ ∅ → ∃𝑥 𝑥𝑏)
5756ad2antlr 765 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 𝑏) → ∃𝑥 𝑥𝑏)
5817sselda 3744 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑏𝑐 𝑏) → 𝑐𝑥)
5958ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 𝑏𝑥𝑏) → 𝑐𝑥)
60 elssuni 4619 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐𝑥𝑐 𝑥)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 𝑏𝑥𝑏) → 𝑐 𝑥)
6261adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥𝑏)) → 𝑐 𝑥)
6312adantrl 754 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥𝑏)) → 𝑥 ∈ (TopOn‘𝐵))
64 toponuni 20921 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = 𝑥)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥𝑏)) → 𝐵 = 𝑥)
6662, 65sseqtr4d 3783 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥𝑏)) → 𝑐𝐵)
6766expr 644 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 𝑏) → (𝑥𝑏𝑐𝐵))
6867exlimdv 2010 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 𝑏) → (∃𝑥 𝑥𝑏𝑐𝐵))
6957, 68mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 𝑏) → 𝑐𝐵)
7069ralrimiva 3104 . . . . . . 7 ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∀𝑐 𝑏𝑐𝐵)
71 unissb 4621 . . . . . . 7 ( 𝑏𝐵 ↔ ∀𝑐 𝑏𝑐𝐵)
7270, 71sylibr 224 . . . . . 6 ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝑏𝐵)
73723adant1 1125 . . . . 5 ((𝐵𝑉𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝑏𝐵)
7411sselda 3744 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑐 ∈ (TopOn‘𝐵))
75 toponuni 20921 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = 𝑐)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐𝑏) → 𝐵 = 𝑐)
77 topontop 20920 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝑐 ∈ Top)
78 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 𝑐 = 𝑐
7978topopn 20913 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ Top → 𝑐𝑐)
8074, 77, 793syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑐𝑐)
8176, 80eqeltrd 2839 . . . . . . . 8 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐𝑏) → 𝐵𝑐)
8281ralrimiva 3104 . . . . . . 7 ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∀𝑐𝑏 𝐵𝑐)
83823adant1 1125 . . . . . 6 ((𝐵𝑉𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∀𝑐𝑏 𝐵𝑐)
84 elintg 4635 . . . . . . 7 (𝐵𝑉 → (𝐵 𝑏 ↔ ∀𝑐𝑏 𝐵𝑐))
85843ad2ant1 1128 . . . . . 6 ((𝐵𝑉𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → (𝐵 𝑏 ↔ ∀𝑐𝑏 𝐵𝑐))
8683, 85mpbird 247 . . . . 5 ((𝐵𝑉𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝐵 𝑏)
87 unissel 4620 . . . . 5 (( 𝑏𝐵𝐵 𝑏) → 𝑏 = 𝐵)
8873, 86, 87syl2anc 696 . . . 4 ((𝐵𝑉𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝑏 = 𝐵)
8988eqcomd 2766 . . 3 ((𝐵𝑉𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝐵 = 𝑏)
90 istopon 20919 . . 3 ( 𝑏 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ ( 𝑏 ∈ Top ∧ 𝐵 = 𝑏))
9154, 89, 90sylanbrc 701 . 2 ((𝐵𝑉𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝑏 ∈ (TopOn‘𝐵))
929, 10, 91ismred 16464 1 (𝐵𝑉 → (TopOn‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072  wal 1630   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  Vcvv 3340  cin 3714  wss 3715  c0 4058  𝒫 cpw 4302   cuni 4588   cint 4627  cfv 6049  Moorecmre 16444  Topctop 20900  TopOnctopon 20917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-mre 16448  df-top 20901  df-topon 20918
This theorem is referenced by:  topmtcl  32664
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