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Theorem toponmre 20649
Description: The topologies over a given base set form a Moore collection: the intersection of any family of them is a topology, including the empty (relative) intersection which gives the discrete topology distop 20552. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
toponmre (𝐵𝑉 → (TopOn‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))

Proof of Theorem toponmre
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 toponuni 20484 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = 𝑏)
2 eqimss2 3620 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝑏 𝑏𝐵)
3 sspwuni 4541 . . . . . . 7 (𝑏 ⊆ 𝒫 𝐵 𝑏𝐵)
42, 3sylibr 222 . . . . . 6 (𝐵 = 𝑏𝑏 ⊆ 𝒫 𝐵)
51, 4syl 17 . . . . 5 (𝑏 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝑏 ⊆ 𝒫 𝐵)
6 selpw 4114 . . . . 5 (𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵𝑏 ⊆ 𝒫 𝐵)
75, 6sylibr 222 . . . 4 (𝑏 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵)
87ssriv 3571 . . 3 (TopOn‘𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 𝐵
98a1i 11 . 2 (𝐵𝑉 → (TopOn‘𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 𝐵)
10 distopon 20553 . 2 (𝐵𝑉 → 𝒫 𝐵 ∈ (TopOn‘𝐵))
11 simpl 471 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵))
1211sselda 3567 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑏) → 𝑥 ∈ (TopOn‘𝐵))
1312adantrl 747 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥𝑏)) → 𝑥 ∈ (TopOn‘𝐵))
14 topontop 20483 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝑥 ∈ Top)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥𝑏)) → 𝑥 ∈ Top)
16 simpl 471 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 𝑏𝑥𝑏) → 𝑐 𝑏)
17 intss1 4421 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑏 𝑏𝑥)
1817adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 𝑏𝑥𝑏) → 𝑏𝑥)
1916, 18sstrd 3577 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 𝑏𝑥𝑏) → 𝑐𝑥)
2019adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥𝑏)) → 𝑐𝑥)
21 uniopn 20469 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ Top ∧ 𝑐𝑥) → 𝑐𝑥)
2215, 20, 21syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥𝑏)) → 𝑐𝑥)
2322expr 640 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 𝑏) → (𝑥𝑏 𝑐𝑥))
2423ralrimiv 2947 . . . . . . . 8 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 𝑏) → ∀𝑥𝑏 𝑐𝑥)
25 vuniex 6829 . . . . . . . . 9 𝑐 ∈ V
2625elint2 4411 . . . . . . . 8 ( 𝑐 𝑏 ↔ ∀𝑥𝑏 𝑐𝑥)
2724, 26sylibr 222 . . . . . . 7 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 𝑏) → 𝑐 𝑏)
2827ex 448 . . . . . 6 ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → (𝑐 𝑏 𝑐 𝑏))
2928alrimiv 1841 . . . . 5 ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∀𝑐(𝑐 𝑏 𝑐 𝑏))
30 simpll 785 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥 𝑏)) → 𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵))
3130sselda 3567 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥 𝑏)) ∧ 𝑦𝑏) → 𝑦 ∈ (TopOn‘𝐵))
32 topontop 20483 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝑦 ∈ Top)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥 𝑏)) ∧ 𝑦𝑏) → 𝑦 ∈ Top)
34 intss1 4421 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑏 𝑏𝑦)
3534adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥 𝑏)) ∧ 𝑦𝑏) → 𝑏𝑦)
36 simplrl 795 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥 𝑏)) ∧ 𝑦𝑏) → 𝑐 𝑏)
3735, 36sseldd 3568 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥 𝑏)) ∧ 𝑦𝑏) → 𝑐𝑦)
38 simplrr 796 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥 𝑏)) ∧ 𝑦𝑏) → 𝑥 𝑏)
3935, 38sseldd 3568 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥 𝑏)) ∧ 𝑦𝑏) → 𝑥𝑦)
40 inopn 20471 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ Top ∧ 𝑐𝑦𝑥𝑦) → (𝑐𝑥) ∈ 𝑦)
4133, 37, 39, 40syl3anc 1317 . . . . . . . 8 ((((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥 𝑏)) ∧ 𝑦𝑏) → (𝑐𝑥) ∈ 𝑦)
4241ralrimiva 2948 . . . . . . 7 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥 𝑏)) → ∀𝑦𝑏 (𝑐𝑥) ∈ 𝑦)
43 vex 3175 . . . . . . . . 9 𝑐 ∈ V
4443inex1 4722 . . . . . . . 8 (𝑐𝑥) ∈ V
4544elint2 4411 . . . . . . 7 ((𝑐𝑥) ∈ 𝑏 ↔ ∀𝑦𝑏 (𝑐𝑥) ∈ 𝑦)
4642, 45sylibr 222 . . . . . 6 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥 𝑏)) → (𝑐𝑥) ∈ 𝑏)
4746ralrimivva 2953 . . . . 5 ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∀𝑐 𝑏𝑥 𝑏(𝑐𝑥) ∈ 𝑏)
48 intex 4742 . . . . . . . 8 (𝑏 ≠ ∅ ↔ 𝑏 ∈ V)
4948biimpi 204 . . . . . . 7 (𝑏 ≠ ∅ → 𝑏 ∈ V)
5049adantl 480 . . . . . 6 ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝑏 ∈ V)
51 istopg 20467 . . . . . 6 ( 𝑏 ∈ V → ( 𝑏 ∈ Top ↔ (∀𝑐(𝑐 𝑏 𝑐 𝑏) ∧ ∀𝑐 𝑏𝑥 𝑏(𝑐𝑥) ∈ 𝑏)))
5250, 51syl 17 . . . . 5 ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ( 𝑏 ∈ Top ↔ (∀𝑐(𝑐 𝑏 𝑐 𝑏) ∧ ∀𝑐 𝑏𝑥 𝑏(𝑐𝑥) ∈ 𝑏)))
5329, 47, 52mpbir2and 958 . . . 4 ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝑏 ∈ Top)
54533adant1 1071 . . 3 ((𝐵𝑉𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝑏 ∈ Top)
55 n0 3889 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝑏)
5655biimpi 204 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ≠ ∅ → ∃𝑥 𝑥𝑏)
5756ad2antlr 758 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 𝑏) → ∃𝑥 𝑥𝑏)
5817sselda 3567 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑏𝑐 𝑏) → 𝑐𝑥)
5958ancoms 467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 𝑏𝑥𝑏) → 𝑐𝑥)
60 elssuni 4397 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐𝑥𝑐 𝑥)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 𝑏𝑥𝑏) → 𝑐 𝑥)
6261adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥𝑏)) → 𝑐 𝑥)
6312adantrl 747 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥𝑏)) → 𝑥 ∈ (TopOn‘𝐵))
64 toponuni 20484 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = 𝑥)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥𝑏)) → 𝐵 = 𝑥)
6662, 65sseqtr4d 3604 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ (𝑐 𝑏𝑥𝑏)) → 𝑐𝐵)
6766expr 640 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 𝑏) → (𝑥𝑏𝑐𝐵))
6867exlimdv 1847 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 𝑏) → (∃𝑥 𝑥𝑏𝑐𝐵))
6957, 68mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐 𝑏) → 𝑐𝐵)
7069ralrimiva 2948 . . . . . . 7 ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∀𝑐 𝑏𝑐𝐵)
71 unissb 4399 . . . . . . 7 ( 𝑏𝐵 ↔ ∀𝑐 𝑏𝑐𝐵)
7270, 71sylibr 222 . . . . . 6 ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝑏𝐵)
73723adant1 1071 . . . . 5 ((𝐵𝑉𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝑏𝐵)
7411sselda 3567 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑐 ∈ (TopOn‘𝐵))
75 toponuni 20484 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = 𝑐)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐𝑏) → 𝐵 = 𝑐)
77 topontop 20483 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝑐 ∈ Top)
78 eqid 2609 . . . . . . . . . . 11 𝑐 = 𝑐
7978topopn 20478 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ Top → 𝑐𝑐)
8074, 77, 793syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑐𝑐)
8176, 80eqeltrd 2687 . . . . . . . 8 (((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ∧ 𝑐𝑏) → 𝐵𝑐)
8281ralrimiva 2948 . . . . . . 7 ((𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∀𝑐𝑏 𝐵𝑐)
83823adant1 1071 . . . . . 6 ((𝐵𝑉𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∀𝑐𝑏 𝐵𝑐)
84 elintg 4412 . . . . . . 7 (𝐵𝑉 → (𝐵 𝑏 ↔ ∀𝑐𝑏 𝐵𝑐))
85843ad2ant1 1074 . . . . . 6 ((𝐵𝑉𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → (𝐵 𝑏 ↔ ∀𝑐𝑏 𝐵𝑐))
8683, 85mpbird 245 . . . . 5 ((𝐵𝑉𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝐵 𝑏)
87 unissel 4398 . . . . 5 (( 𝑏𝐵𝐵 𝑏) → 𝑏 = 𝐵)
8873, 86, 87syl2anc 690 . . . 4 ((𝐵𝑉𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝑏 = 𝐵)
8988eqcomd 2615 . . 3 ((𝐵𝑉𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝐵 = 𝑏)
90 istopon 20482 . . 3 ( 𝑏 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ ( 𝑏 ∈ Top ∧ 𝐵 = 𝑏))
9154, 89, 90sylanbrc 694 . 2 ((𝐵𝑉𝑏 ⊆ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝑏 ∈ (TopOn‘𝐵))
929, 10, 91ismred 16031 1 (𝐵𝑉 → (TopOn‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030  wal 1472   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  Vcvv 3172  cin 3538  wss 3539  c0 3873  𝒫 cpw 4107   cuni 4366   cint 4404  cfv 5790  Moorecmre 16011  Topctop 20459  TopOnctopon 20460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fv 5798  df-mre 16015  df-top 20463  df-topon 20465
This theorem is referenced by:  topmtcl  31334
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