Theorem toptopon 20924

Description: Alternative definition of Top in terms of TopOn. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
toptopon.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
toptopon	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem toptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		istopon 20919	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝐽))
3	1, 2	mpbiran2 992	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ 𝐽 ∈ Top)
4	3	bicomi 214	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∪ cuni 4588  ‘cfv 6049  Topctop 20900  TopOnctopon 20917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-topon 20918

This theorem is referenced by:  toptopon2  20925  eltpsi  20950  neiptopreu  21139  restuni  21168  stoig  21169  restlp  21189  restperf  21190  perfopn  21191  iscn2  21244  iscnp2  21245  lmcvg  21268  cnss1  21282  cnss2  21283  cncnpi  21284  cncnp2  21287  cnnei  21288  cnrest  21291  cnrest2  21292  cnrest2r  21293  cnpresti  21294  cnprest  21295  cnprest2  21296  paste  21300  lmss  21304  lmcnp  21310  lmcn  21311  t1t0  21354  haust1  21358  restcnrm  21368  resthauslem  21369  t1sep2  21375  sshauslem  21378  lmmo  21386  rncmp  21401  connima  21430  conncn  21431  1stcelcls  21466  kgeni  21542  kgenuni  21544  kgenftop  21545  kgenss  21548  kgenhaus  21549  kgencmp2  21551  kgenidm  21552  iskgen3  21554  1stckgen  21559  kgencn3  21563  kgen2cn  21564  txuni  21597  ptuniconst  21603  dfac14  21623  ptcnplem  21626  ptcnp  21627  txcnmpt  21629  txcn  21631  ptcn  21632  txindis  21639  txdis1cn  21640  ptrescn  21644  txcmpb  21649  lmcn2  21654  txkgen  21657  xkohaus  21658  xkoptsub  21659  xkopt  21660  cnmpt11  21668  cnmpt11f  21669  cnmpt1t  21670  cnmpt12  21672  cnmpt21  21676  cnmpt21f  21677  cnmpt2t  21678  cnmpt22  21679  cnmpt22f  21680  cnmptcom  21683  cnmptkp  21685  xkofvcn  21689  cnmpt2k  21693  txconn  21694  imasnopn  21695  imasncld  21696  imasncls  21697  qtopcmplem  21712  qtopkgen  21715  qtopss  21720  qtopeu  21721  qtopomap  21723  qtopcmap  21724  kqtop  21750  kqt0  21751  nrmr0reg  21754  regr1  21755  kqreg  21756  kqnrm  21757  hmeof1o  21769  hmeores  21776  hmeoqtop  21780  hmphref  21786  hmphindis  21802  cmphaushmeo  21805  txhmeo  21808  ptunhmeo  21813  xpstopnlem1  21814  ptcmpfi  21818  xkocnv  21819  xkohmeo  21820  kqhmph  21824  hausflim  21986  flimsncls  21991  flfneii  21997  hausflf  22002  cnpflfi  22004  flfcnp  22009  flfcnp2  22012  flimfnfcls  22033  cnpfcfi  22045  flfcntr  22048  cnextfun  22069  cnextfvval  22070  cnextf  22071  cnextcn  22072  cnextfres1  22073  cnextucn  22308  retopon  22768  cnmpt2pc  22928  evth  22959  evth2  22960  htpyco1  22978  htpyco2  22979  phtpyco2  22990  pcopt  23022  pcopt2  23023  pcorevlem  23026  pi1cof  23059  pi1coghm  23061  qtophaus  30212  rrhre  30374  pconnconn  31520  connpconn  31524  pconnpi1  31526  sconnpi1  31528  txsconnlem  31529  txsconn  31530  cvxsconn  31532  cvmsf1o  31561  cvmliftmolem1  31570  cvmliftlem8  31581  cvmlift2lem9a  31592  cvmlift2lem9  31600  cvmlift2lem11  31602  cvmlift2lem12  31603  cvmliftphtlem  31606  cvmlift3lem6  31613  cvmlift3lem8  31615  cvmlift3lem9  31616  cnres2  33875  cnresima  33876  hausgraph  38292  ntrf2  38924  fcnre  39683