Theorem toptopon2 21528

Description: A topology is the same thing as a topology on the union of its open sets. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
toptopon2	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))

Proof of Theorem toptopon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2823	. 2 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2	1	toptopon 21527	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∈ wcel 2114  ∪ cuni 4840  ‘cfv 6357  Topctop 21503  TopOnctopon 21520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fv 6365  df-topon 21521

This theorem is referenced by:  topontopon  21529  toprntopon  21535  neiptopreu  21743  lmcvg  21872  cnss1  21886  cnss2  21887  cnrest2  21896  cnrest2r  21897  lmss  21908  lmcnp  21914  lmcn  21915  t1t0  21958  haust1  21962  restcnrm  21972  resthauslem  21973  lmmo  21990  rncmp  22006  connima  22035  conncn  22036  kgeni  22147  kgenftop  22150  kgenss  22153  kgenhaus  22154  kgencmp2  22156  kgenidm  22157  1stckgen  22164  kgencn3  22168  kgen2cn  22169  dfac14  22228  ptcnplem  22231  ptcnp  22232  txcnmpt  22234  ptcn  22237  txdis1cn  22245  lmcn2  22259  txkgen  22262  xkohaus  22263  xkopt  22265  cnmpt11  22273  cnmpt11f  22274  cnmpt1t  22275  cnmpt12  22277  cnmpt21  22281  cnmpt21f  22282  cnmpt2t  22283  cnmpt22  22284  cnmpt22f  22285  cnmptcom  22288  cnmptkp  22290  cnmpt2k  22298  txconn  22299  qtopss  22325  qtopeu  22326  qtopomap  22328  qtopcmap  22329  kqtop  22355  kqt0  22356  nrmr0reg  22359  regr1  22360  kqreg  22361  kqnrm  22362  hmeoqtop  22385  hmphref  22391  xpstopnlem1  22419  ptcmpfi  22423  xkocnv  22424  xkohmeo  22425  kqhmph  22429  flimsncls  22596  cnpflfi  22609  flfcnp  22614  flfcnp2  22617  cnpfcfi  22650  cnextucn  22914  cnmpopc  23534  htpyco1  23584  htpyco2  23585  phtpyco2  23596  pcopt  23628  pcopt2  23629  pcorevlem  23632  pi1cof  23665  pi1coghm  23667