Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  toslublem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem toslublem 29476
 Description: Lemma for toslub 29477 and xrsclat 29489. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Feb-2018.) (Revised by NM, 15-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
toslub.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
toslub.l < = (lt‘𝐾)
toslub.1 (𝜑𝐾 ∈ Toset)
toslub.2 (𝜑𝐴𝐵)
toslub.e = (le‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
toslublem ((𝜑𝑎𝐵) → ((∀𝑏𝐴 𝑏 𝑎 ∧ ∀𝑐𝐵 (∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐𝑎 𝑐)) ↔ (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑))))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑑, <   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝐾,𝑎,𝑏,𝑐   𝜑,𝑎,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑑)   𝐾(𝑑)   (𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem toslublem
StepHypRef Expression
1 toslub.1 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ Toset)
21ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝐾 ∈ Toset)
3 simplr 791 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑎𝐵)
4 toslub.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
54adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝐴𝐵)
65sselda 3587 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏𝐵)
7 toslub.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 toslub.e . . . . . 6 = (le‘𝐾)
9 toslub.l . . . . . 6 < = (lt‘𝐾)
107, 8, 9tltnle 29471 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 𝑎))
112, 3, 6, 10syl3anc 1323 . . . 4 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑎 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 𝑎))
1211con2bid 344 . . 3 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑏 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 < 𝑏))
1312ralbidva 2980 . 2 ((𝜑𝑎𝐵) → (∀𝑏𝐴 𝑏 𝑎 ↔ ∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏))
144ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝐴𝐵)
15 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏𝐴)
1614, 15sseldd 3588 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏𝐵)
177, 8, 9tltnle 29471 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑐𝐵𝑏𝐵) → (𝑐 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 𝑐))
181, 17syl3an1 1356 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐𝐵𝑏𝐵) → (𝑐 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 𝑐))
19183expa 1262 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑐 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 𝑐))
2019con2bid 344 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑏 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 < 𝑏))
2116, 20syldan 487 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑏 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 < 𝑏))
2221ralbidva 2980 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐𝐵) → (∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐 ↔ ∀𝑏𝐴 ¬ 𝑐 < 𝑏))
23 breq2 4622 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑑 → (𝑐 < 𝑏𝑐 < 𝑑))
2423notbid 308 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑑 → (¬ 𝑐 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑐 < 𝑑))
2524cbvralv 3162 . . . . . . . . 9 (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑐 < 𝑏 ↔ ∀𝑑𝐴 ¬ 𝑐 < 𝑑)
26 ralnex 2987 . . . . . . . . 9 (∀𝑑𝐴 ¬ 𝑐 < 𝑑 ↔ ¬ ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑)
2725, 26bitri 264 . . . . . . . 8 (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑐 < 𝑏 ↔ ¬ ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑)
2822, 27syl6bb 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐𝐵) → (∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐 ↔ ¬ ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑))
2928adantlr 750 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → (∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐 ↔ ¬ ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑))
301ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → 𝐾 ∈ Toset)
31 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → 𝑐𝐵)
32 simplr 791 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → 𝑎𝐵)
337, 8, 9tltnle 29471 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑐𝐵𝑎𝐵) → (𝑐 < 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 𝑐))
3430, 31, 32, 33syl3anc 1323 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → (𝑐 < 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 𝑐))
3534con2bid 344 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → (𝑎 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 < 𝑎))
3629, 35imbi12d 334 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → ((∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐𝑎 𝑐) ↔ (¬ ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑 → ¬ 𝑐 < 𝑎)))
37 con34b 306 . . . . 5 ((𝑐 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑) ↔ (¬ ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑 → ¬ 𝑐 < 𝑎))
3836, 37syl6bbr 278 . . . 4 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → ((∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐𝑎 𝑐) ↔ (𝑐 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑)))
3938ralbidva 2980 . . 3 ((𝜑𝑎𝐵) → (∀𝑐𝐵 (∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐𝑎 𝑐) ↔ ∀𝑐𝐵 (𝑐 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑)))
40 breq1 4621 . . . . 5 (𝑏 = 𝑐 → (𝑏 < 𝑎𝑐 < 𝑎))
41 breq1 4621 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑐 → (𝑏 < 𝑑𝑐 < 𝑑))
4241rexbidv 3046 . . . . 5 (𝑏 = 𝑐 → (∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑 ↔ ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑))
4340, 42imbi12d 334 . . . 4 (𝑏 = 𝑐 → ((𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑) ↔ (𝑐 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑)))
4443cbvralv 3162 . . 3 (∀𝑏𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑) ↔ ∀𝑐𝐵 (𝑐 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑))
4539, 44syl6bbr 278 . 2 ((𝜑𝑎𝐵) → (∀𝑐𝐵 (∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐𝑎 𝑐) ↔ ∀𝑏𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑)))
4613, 45anbi12d 746 1 ((𝜑𝑎𝐵) → ((∀𝑏𝐴 𝑏 𝑎 ∧ ∀𝑐𝐵 (∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐𝑎 𝑐)) ↔ (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  ∃wrex 2908   ⊆ wss 3559   class class class wbr 4618  ‘cfv 5852  Basecbs 15792  lecple 15880  ltcplt 16873  Tosetctos 16965 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pr 4872 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fv 5860  df-preset 16860  df-poset 16878  df-plt 16890  df-toset 16966 This theorem is referenced by:  toslub  29477  xrsclat  29489
 Copyright terms: Public domain W3C validator