Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  totbndss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem totbndss 33889
Description: A subset of a totally bounded metric space is totally bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
totbndss ((𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝑀 ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (TotBnd‘𝑆))

Proof of Theorem totbndss
Dummy variables 𝑏 𝑑 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 istotbnd 33881 . . . 4 (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ Fin ( 𝑣 = 𝑋 ∧ ∀𝑏𝑣𝑥𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑))))
21simprbi 483 . . 3 (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) → ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ Fin ( 𝑣 = 𝑋 ∧ ∀𝑏𝑣𝑥𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑)))
3 sseq2 3768 . . . . . . 7 ( 𝑣 = 𝑋 → (𝑆 𝑣𝑆𝑋))
43biimprcd 240 . . . . . 6 (𝑆𝑋 → ( 𝑣 = 𝑋𝑆 𝑣))
54anim1d 589 . . . . 5 (𝑆𝑋 → (( 𝑣 = 𝑋 ∧ ∀𝑏𝑣𝑥𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑)) → (𝑆 𝑣 ∧ ∀𝑏𝑣𝑥𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑))))
65reximdv 3154 . . . 4 (𝑆𝑋 → (∃𝑣 ∈ Fin ( 𝑣 = 𝑋 ∧ ∀𝑏𝑣𝑥𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑)) → ∃𝑣 ∈ Fin (𝑆 𝑣 ∧ ∀𝑏𝑣𝑥𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑))))
76ralimdv 3101 . . 3 (𝑆𝑋 → (∀𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ Fin ( 𝑣 = 𝑋 ∧ ∀𝑏𝑣𝑥𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑)) → ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ Fin (𝑆 𝑣 ∧ ∀𝑏𝑣𝑥𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑))))
82, 7mpan9 487 . 2 ((𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ Fin (𝑆 𝑣 ∧ ∀𝑏𝑣𝑥𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑)))
9 totbndmet 33884 . . 3 (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
10 eqid 2760 . . . 4 (𝑀 ↾ (𝑆 × 𝑆)) = (𝑀 ↾ (𝑆 × 𝑆))
1110sstotbnd 33887 . . 3 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → ((𝑀 ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (TotBnd‘𝑆) ↔ ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ Fin (𝑆 𝑣 ∧ ∀𝑏𝑣𝑥𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑))))
129, 11sylan 489 . 2 ((𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → ((𝑀 ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (TotBnd‘𝑆) ↔ ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ Fin (𝑆 𝑣 ∧ ∀𝑏𝑣𝑥𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑))))
138, 12mpbird 247 1 ((𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝑀 ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (TotBnd‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  wss 3715   cuni 4588   × cxp 5264  cres 5268  cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  +crp 12025  Metcme 19934  ballcbl 19935  TotBndctotbnd 33878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-2 11271  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-totbnd 33880
This theorem is referenced by:  prdsbnd2  33907
  Copyright terms: Public domain W3C validator