MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tposmap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tposmap 20024
Description: The transposition of an I X J -matrix is a J X I -matrix, see also the statement in [Lang] p. 505. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
tposmap (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (𝐼 × 𝐽)) → tpos 𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (𝐽 × 𝐼)))

Proof of Theorem tposmap
StepHypRef Expression
1 elmapi 7742 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (𝐼 × 𝐽)) → 𝐴:(𝐼 × 𝐽)⟶𝐵)
2 tposf 7244 . . 3 (𝐴:(𝐼 × 𝐽)⟶𝐵 → tpos 𝐴:(𝐽 × 𝐼)⟶𝐵)
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (𝐼 × 𝐽)) → tpos 𝐴:(𝐽 × 𝐼)⟶𝐵)
4 elmapex 7741 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (𝐼 × 𝐽)) → (𝐵 ∈ V ∧ (𝐼 × 𝐽) ∈ V))
5 cnvxp 5456 . . . . 5 (𝐼 × 𝐽) = (𝐽 × 𝐼)
6 cnvexg 6982 . . . . 5 ((𝐼 × 𝐽) ∈ V → (𝐼 × 𝐽) ∈ V)
75, 6syl5eqelr 2692 . . . 4 ((𝐼 × 𝐽) ∈ V → (𝐽 × 𝐼) ∈ V)
87anim2i 590 . . 3 ((𝐵 ∈ V ∧ (𝐼 × 𝐽) ∈ V) → (𝐵 ∈ V ∧ (𝐽 × 𝐼) ∈ V))
9 elmapg 7734 . . 3 ((𝐵 ∈ V ∧ (𝐽 × 𝐼) ∈ V) → (tpos 𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (𝐽 × 𝐼)) ↔ tpos 𝐴:(𝐽 × 𝐼)⟶𝐵))
104, 8, 93syl 18 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (𝐼 × 𝐽)) → (tpos 𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (𝐽 × 𝐼)) ↔ tpos 𝐴:(𝐽 × 𝐼)⟶𝐵))
113, 10mpbird 245 1 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (𝐼 × 𝐽)) → tpos 𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (𝐽 × 𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  wcel 1976  Vcvv 3172   × cxp 5026  ccnv 5027  wf 5786  (class class class)co 6527  tpos ctpos 7215  𝑚 cmap 7721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-fo 5796  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-tpos 7216  df-map 7723
This theorem is referenced by:  mamutpos  20025
  Copyright terms: Public domain W3C validator