MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trfg 21600
Description: The trace operation and the filGen operation are inverses to one another in some sense, with filGen growing the base set and t shrinking it. See fgtr 21599 for the converse cancellation law. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfg ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴) = 𝐹)

Proof of Theorem trfg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filfbas 21557 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝐴))
213ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝐴))
3 filsspw 21560 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝐴)
433ad2ant1 1080 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝐴)
5 simp2 1060 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝐴𝑋)
6 sspwb 4883 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋 ↔ 𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋)
75, 6sylib 208 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋)
84, 7sstrd 3598 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
9 simp3 1061 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
10 fbasweak 21574 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐴) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝑉) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
112, 8, 9, 10syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
12 fgcl 21587 . . . . 5 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
1311, 12syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
14 filtop 21564 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) → 𝐴𝐹)
15143ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝐴𝐹)
16 restval 16003 . . . 4 (((𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴) = ran (𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↦ (𝑥𝐴)))
1713, 15, 16syl2anc 692 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴) = ran (𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↦ (𝑥𝐴)))
18 elfg 21580 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∃𝑦𝐹 𝑦𝑥)))
1911, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → (𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∃𝑦𝐹 𝑦𝑥)))
2019simplbda 653 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) → ∃𝑦𝐹 𝑦𝑥)
21 simpll1 1098 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑥)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝐴))
22 simprl 793 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑥)) → 𝑦𝐹)
23 inss2 3817 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴) ⊆ 𝐴
2423a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑥)) → (𝑥𝐴) ⊆ 𝐴)
25 simprr 795 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑥)) → 𝑦𝑥)
26 filelss 21561 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝑦𝐹) → 𝑦𝐴)
27263ad2antl1 1221 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑦𝐹) → 𝑦𝐴)
2827ad2ant2r 782 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑥)) → 𝑦𝐴)
2925, 28ssind 3820 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑥)) → 𝑦 ⊆ (𝑥𝐴))
30 filss 21562 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ (𝑦𝐹 ∧ (𝑥𝐴) ⊆ 𝐴𝑦 ⊆ (𝑥𝐴))) → (𝑥𝐴) ∈ 𝐹)
3121, 22, 24, 29, 30syl13anc 1325 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑥)) → (𝑥𝐴) ∈ 𝐹)
3220, 31rexlimddv 3033 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) → (𝑥𝐴) ∈ 𝐹)
33 eqid 2626 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↦ (𝑥𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↦ (𝑥𝐴))
3432, 33fmptd 6341 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → (𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↦ (𝑥𝐴)):(𝑋filGen𝐹)⟶𝐹)
35 frn 6012 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↦ (𝑥𝐴)):(𝑋filGen𝐹)⟶𝐹 → ran (𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↦ (𝑥𝐴)) ⊆ 𝐹)
3634, 35syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → ran (𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↦ (𝑥𝐴)) ⊆ 𝐹)
3717, 36eqsstrd 3623 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴) ⊆ 𝐹)
38 filelss 21561 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥𝐴)
39383ad2antl1 1221 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥𝐴)
40 df-ss 3574 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝐴) = 𝑥)
4139, 40sylib 208 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥𝐹) → (𝑥𝐴) = 𝑥)
4213adantr 481 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥𝐹) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
4315adantr 481 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥𝐹) → 𝐴𝐹)
44 ssfg 21581 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))
4511, 44syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))
4645sselda 3588 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹))
47 elrestr 16005 . . . . . 6 (((𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) → (𝑥𝐴) ∈ ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴))
4842, 43, 46, 47syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥𝐹) → (𝑥𝐴) ∈ ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴))
4941, 48eqeltrrd 2705 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥 ∈ ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴))
5049ex 450 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → (𝑥𝐹𝑥 ∈ ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴)))
5150ssrdv 3594 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝐹 ⊆ ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴))
5237, 51eqssd 3605 1 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wrex 2913  cin 3559  wss 3560  𝒫 cpw 4135  cmpt 4678  ran crn 5080  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  t crest 15997  fBascfbas 19648  filGencfg 19649  Filcfil 21554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-rest 15999  df-fbas 19657  df-fg 19658  df-fil 21555
This theorem is referenced by:  cmetss  23016  minveclem4a  23104
  Copyright terms: Public domain W3C validator