MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trfg 21742
Description: The trace operation and the filGen operation are inverses to one another in some sense, with filGen growing the base set and t shrinking it. See fgtr 21741 for the converse cancellation law. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfg ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴) = 𝐹)

Proof of Theorem trfg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filfbas 21699 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝐴))
213ad2ant1 1102 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝐴))
3 filsspw 21702 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝐴)
433ad2ant1 1102 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝐴)
5 simp2 1082 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝐴𝑋)
6 sspwb 4947 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋 ↔ 𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋)
75, 6sylib 208 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑋)
84, 7sstrd 3646 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
9 simp3 1083 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
10 fbasweak 21716 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐴) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝑉) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
112, 8, 9, 10syl3anc 1366 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
12 fgcl 21729 . . . . 5 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
1311, 12syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
14 filtop 21706 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) → 𝐴𝐹)
15143ad2ant1 1102 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝐴𝐹)
16 restval 16134 . . . 4 (((𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴) = ran (𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↦ (𝑥𝐴)))
1713, 15, 16syl2anc 694 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴) = ran (𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↦ (𝑥𝐴)))
18 elfg 21722 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∃𝑦𝐹 𝑦𝑥)))
1911, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → (𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∃𝑦𝐹 𝑦𝑥)))
2019simplbda 653 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) → ∃𝑦𝐹 𝑦𝑥)
21 simpll1 1120 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑥)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝐴))
22 simprl 809 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑥)) → 𝑦𝐹)
23 inss2 3867 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴) ⊆ 𝐴
2423a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑥)) → (𝑥𝐴) ⊆ 𝐴)
25 simprr 811 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑥)) → 𝑦𝑥)
26 filelss 21703 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝑦𝐹) → 𝑦𝐴)
27263ad2antl1 1243 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑦𝐹) → 𝑦𝐴)
2827ad2ant2r 798 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑥)) → 𝑦𝐴)
2925, 28ssind 3870 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑥)) → 𝑦 ⊆ (𝑥𝐴))
30 filss 21704 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ (𝑦𝐹 ∧ (𝑥𝐴) ⊆ 𝐴𝑦 ⊆ (𝑥𝐴))) → (𝑥𝐴) ∈ 𝐹)
3121, 22, 24, 29, 30syl13anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑥)) → (𝑥𝐴) ∈ 𝐹)
3220, 31rexlimddv 3064 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) → (𝑥𝐴) ∈ 𝐹)
33 eqid 2651 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↦ (𝑥𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↦ (𝑥𝐴))
3432, 33fmptd 6425 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → (𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↦ (𝑥𝐴)):(𝑋filGen𝐹)⟶𝐹)
35 frn 6091 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↦ (𝑥𝐴)):(𝑋filGen𝐹)⟶𝐹 → ran (𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↦ (𝑥𝐴)) ⊆ 𝐹)
3634, 35syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → ran (𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↦ (𝑥𝐴)) ⊆ 𝐹)
3717, 36eqsstrd 3672 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴) ⊆ 𝐹)
38 filelss 21703 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥𝐴)
39383ad2antl1 1243 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥𝐴)
40 df-ss 3621 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝐴) = 𝑥)
4139, 40sylib 208 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥𝐹) → (𝑥𝐴) = 𝑥)
4213adantr 480 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥𝐹) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
4315adantr 480 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥𝐹) → 𝐴𝐹)
44 ssfg 21723 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))
4511, 44syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))
4645sselda 3636 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹))
47 elrestr 16136 . . . . . 6 (((𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)) → (𝑥𝐴) ∈ ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴))
4842, 43, 46, 47syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥𝐹) → (𝑥𝐴) ∈ ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴))
4941, 48eqeltrrd 2731 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥 ∈ ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴))
5049ex 449 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → (𝑥𝐹𝑥 ∈ ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴)))
5150ssrdv 3642 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → 𝐹 ⊆ ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴))
5237, 51eqssd 3653 1 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑉) → ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝐴) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wrex 2942  cin 3606  wss 3607  𝒫 cpw 4191  cmpt 4762  ran crn 5144  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  t crest 16128  fBascfbas 19782  filGencfg 19783  Filcfil 21696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-rest 16130  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-fil 21697
This theorem is referenced by:  cmetss  23159  minveclem4a  23247
  Copyright terms: Public domain W3C validator