MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfil3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trfil3 21632
Description: Conditions for the trace of a filter 𝐿 to be a filter. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfil3 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐿t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))

Proof of Theorem trfil3
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trfil2 21631 . 2 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐿t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ∀𝑣𝐿 (𝑣𝐴) ≠ ∅))
2 dfral2 2990 . . 3 (∀𝑣𝐿 (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑣𝐿 ¬ (𝑣𝐴) ≠ ∅)
3 nne 2794 . . . . . . . 8 (¬ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ (𝑣𝐴) = ∅)
4 filelss 21596 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝑣𝐿) → 𝑣𝑌)
5 reldisj 3998 . . . . . . . . 9 (𝑣𝑌 → ((𝑣𝐴) = ∅ ↔ 𝑣 ⊆ (𝑌𝐴)))
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝑣𝐿) → ((𝑣𝐴) = ∅ ↔ 𝑣 ⊆ (𝑌𝐴)))
73, 6syl5bb 272 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝑣𝐿) → (¬ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ 𝑣 ⊆ (𝑌𝐴)))
87rexbidva 3044 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) → (∃𝑣𝐿 ¬ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑣𝐿 𝑣 ⊆ (𝑌𝐴)))
98adantr 481 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (∃𝑣𝐿 ¬ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑣𝐿 𝑣 ⊆ (𝑌𝐴)))
10 difssd 3722 . . . . . 6 (𝐴𝑌 → (𝑌𝐴) ⊆ 𝑌)
11 elfilss 21620 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝑌𝐴) ⊆ 𝑌) → ((𝑌𝐴) ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑣𝐿 𝑣 ⊆ (𝑌𝐴)))
1210, 11sylan2 491 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝑌𝐴) ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑣𝐿 𝑣 ⊆ (𝑌𝐴)))
139, 12bitr4d 271 . . . 4 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (∃𝑣𝐿 ¬ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))
1413notbid 308 . . 3 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (¬ ∃𝑣𝐿 ¬ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))
152, 14syl5bb 272 . 2 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (∀𝑣𝐿 (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))
161, 15bitrd 268 1 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐿t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2908  wrex 2909  cdif 3557  cin 3559  wss 3560  c0 3897  cfv 5857  (class class class)co 6615  t crest 16021  Filcfil 21589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-rest 16023  df-fbas 19683  df-fg 19684  df-fil 21590
This theorem is referenced by:  fgtr  21634  trufil  21654  flimrest  21727  fclsrest  21768  cfilres  23034  relcmpcmet  23055
  Copyright terms: Public domain W3C validator