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Theorem trin2 5677
Description: The intersection of two transitive classes is transitive. (Contributed by FL, 31-Jul-2009.)
Assertion
Ref Expression
trin2 (((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ (𝑆𝑆) ⊆ 𝑆) → ((𝑅𝑆) ∘ (𝑅𝑆)) ⊆ (𝑅𝑆))

Proof of Theorem trin2
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cotr 5666 . . . 4 ((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
2 cotr 5666 . . . . . 6 ((𝑆𝑆) ⊆ 𝑆 ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧))
3 brin 4856 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥(𝑅𝑆)𝑦 ↔ (𝑥𝑅𝑦𝑥𝑆𝑦))
4 brin 4856 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦(𝑅𝑆)𝑧 ↔ (𝑦𝑅𝑧𝑦𝑆𝑧))
5 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
6 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → ((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧))
75, 6anim12d 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → (((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧)) → (𝑥𝑅𝑧𝑥𝑆𝑧)))
87com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧)) → ((((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → (𝑥𝑅𝑧𝑥𝑆𝑧)))
98an4s 904 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝑅𝑦𝑥𝑆𝑦) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑦𝑆𝑧)) → ((((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → (𝑥𝑅𝑧𝑥𝑆𝑧)))
103, 4, 9syl2anb 497 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → ((((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → (𝑥𝑅𝑧𝑥𝑆𝑧)))
1110com12 32 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → ((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → (𝑥𝑅𝑧𝑥𝑆𝑧)))
12 brin 4856 . . . . . . . . . . 11 (𝑥(𝑅𝑆)𝑧 ↔ (𝑥𝑅𝑧𝑥𝑆𝑧))
1311, 12syl6ibr 242 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → ((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧))
1413alanimi 1893 . . . . . . . . 9 ((∀𝑧((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ∀𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → ∀𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧))
1514alanimi 1893 . . . . . . . 8 ((∀𝑦𝑧((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ∀𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → ∀𝑦𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧))
1615alanimi 1893 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧))
1716ex 449 . . . . . 6 (∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑆𝑦𝑦𝑆𝑧) → 𝑥𝑆𝑧) → (∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧) → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧)))
182, 17sylbi 207 . . . . 5 ((𝑆𝑆) ⊆ 𝑆 → (∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧) → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧)))
1918com12 32 . . . 4 (∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧) → ((𝑆𝑆) ⊆ 𝑆 → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧)))
201, 19sylbi 207 . . 3 ((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 → ((𝑆𝑆) ⊆ 𝑆 → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧)))
2120imp 444 . 2 (((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ (𝑆𝑆) ⊆ 𝑆) → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧))
22 cotr 5666 . 2 (((𝑅𝑆) ∘ (𝑅𝑆)) ⊆ (𝑅𝑆) ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(𝑅𝑆)𝑦𝑦(𝑅𝑆)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑆)𝑧))
2321, 22sylibr 224 1 (((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ (𝑆𝑆) ⊆ 𝑆) → ((𝑅𝑆) ∘ (𝑅𝑆)) ⊆ (𝑅𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wal 1630  cin 3714  wss 3715   class class class wbr 4804  ccom 5270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-rab 3059  df-v 3342  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-br 4805  df-opab 4865  df-xp 5272  df-rel 5273  df-co 5275
This theorem is referenced by:  trinxp  5679  trficl  38481
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