Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlcl 34252
Description: Closure of the trace of a lattice translation. (Contributed by NM, 22-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcl.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlcl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlcl.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlcl.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlcl (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem trlcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 eqid 2609 . . . . 5 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3 eqid 2609 . . . . 5 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
4 trlcl.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
51, 2, 3, 4lhpocnel 34105 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊))
65adantr 479 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊))
7 eqid 2609 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
8 eqid 2609 . . . 4 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
9 trlcl.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10 trlcl.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
111, 7, 8, 3, 4, 9, 10trlval2 34251 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑅𝐹) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊))
126, 11mpd3an3 1416 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊))
13 hllat 33451 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1413ad2antrr 757 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
15 hlop 33450 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
1615ad2antrr 757 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐾 ∈ OP)
17 trlcl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
1817, 4lhpbase 34085 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
1918ad2antlr 758 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝑊𝐵)
2017, 2opoccl 33282 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐵)
2116, 19, 20syl2anc 690 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐵)
2217, 4, 9ltrncl 34212 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ 𝐵)
2321, 22mpd3an3 1416 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ 𝐵)
2417, 7latjcl 16822 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ 𝐵)
2514, 21, 23, 24syl3anc 1317 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ 𝐵)
2617, 8latmcl 16823 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ 𝐵)
2714, 25, 19, 26syl3anc 1317 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ 𝐵)
2812, 27eqeltrd 2687 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976   class class class wbr 4577  cfv 5789  (class class class)co 6526  Basecbs 15643  lecple 15723  occoc 15724  joincjn 16715  meetcmee 16716  Latclat 16816  OPcops 33260  Atomscatm 33351  HLchlt 33438  LHypclh 34071  LTrncltrn 34188  trLctrl 34246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4942  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-map 7723  df-preset 16699  df-poset 16717  df-plt 16729  df-lub 16745  df-glb 16746  df-join 16747  df-meet 16748  df-p0 16810  df-p1 16811  df-lat 16817  df-oposet 33264  df-ol 33266  df-oml 33267  df-covers 33354  df-ats 33355  df-atl 33386  df-cvlat 33410  df-hlat 33439  df-lhyp 34075  df-laut 34076  df-ldil 34191  df-ltrn 34192  df-trl 34247
This theorem is referenced by:  trljat1  34254  trljat2  34255  trlval3  34275  cdlemc3  34281  cdlemc5  34283  trlord  34658  cdlemg4c  34701  cdlemg4  34706  cdlemg6c  34709  cdlemg10c  34728  cdlemg10  34730  cdlemg12e  34736  cdlemg17dALTN  34753  cdlemg31a  34786  cdlemg31b  34787  cdlemg35  34802  cdlemg44a  34820  trljco  34829  trljco2  34830  tendoidcl  34858  tendococl  34861  tendoid  34862  tendopltp  34869  tendo0tp  34878  cdlemh1  34904  cdlemh2  34905  cdlemi1  34907  cdlemi  34909  cdlemk9  34928  cdlemk9bN  34929  cdlemkvcl  34931  cdlemk10  34932  cdlemk11  34938  cdlemk11u  34960  cdlemk37  35003  cdlemkfid1N  35010  cdlemkid1  35011  cdlemkid2  35013  cdlemk39s-id  35029  cdlemk48  35039  cdlemk50  35041  cdlemk51  35042  cdlemk52  35043  cdlemk39u  35057  tendoex  35064  dialss  35136  dia0  35142  diaglbN  35145  dia1dim  35151  dia2dimlem2  35155  dia2dimlem3  35156  dia2dimlem10  35163  cdlemm10N  35208  dib1dim  35255  diblss  35260  cdlemn2a  35286  dih1dimb  35330  dihopelvalcpre  35338  dih1  35376  dihmeetlem1N  35380  dihglblem5apreN  35381  dihglbcpreN  35390  dih1dimatlem  35419
  Copyright terms: Public domain W3C validator