Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlcl 35769
Description: Closure of the trace of a lattice translation. (Contributed by NM, 22-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcl.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlcl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlcl.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlcl.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlcl (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem trlcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 eqid 2651 . . . . 5 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3 eqid 2651 . . . . 5 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
4 trlcl.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
51, 2, 3, 4lhpocnel 35622 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊))
65adantr 480 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊))
7 eqid 2651 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
8 eqid 2651 . . . 4 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
9 trlcl.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10 trlcl.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
111, 7, 8, 3, 4, 9, 10trlval2 35768 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑅𝐹) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊))
126, 11mpd3an3 1465 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊))
13 hllat 34968 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1413ad2antrr 762 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
15 hlop 34967 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
1615ad2antrr 762 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐾 ∈ OP)
17 trlcl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
1817, 4lhpbase 35602 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
1918ad2antlr 763 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝑊𝐵)
2017, 2opoccl 34799 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐵)
2116, 19, 20syl2anc 694 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐵)
2217, 4, 9ltrncl 35729 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ 𝐵)
2321, 22mpd3an3 1465 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ 𝐵)
2417, 7latjcl 17098 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ 𝐵)
2514, 21, 23, 24syl3anc 1366 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ 𝐵)
2617, 8latmcl 17099 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ 𝐵)
2714, 25, 19, 26syl3anc 1366 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊) ∈ 𝐵)
2812, 27eqeltrd 2730 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  lecple 15995  occoc 15996  joincjn 16991  meetcmee 16992  Latclat 17092  OPcops 34777  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  LHypclh 35588  LTrncltrn 35705  trLctrl 35763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-map 7901  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764
This theorem is referenced by:  trljat1  35771  trljat2  35772  trlval3  35792  cdlemc3  35798  cdlemc5  35800  trlord  36174  cdlemg4c  36217  cdlemg4  36222  cdlemg6c  36225  cdlemg10c  36244  cdlemg10  36246  cdlemg12e  36252  cdlemg17dALTN  36269  cdlemg31a  36302  cdlemg31b  36303  cdlemg35  36318  cdlemg44a  36336  trljco  36345  trljco2  36346  tendoidcl  36374  tendococl  36377  tendoid  36378  tendopltp  36385  tendo0tp  36394  cdlemh1  36420  cdlemh2  36421  cdlemi1  36423  cdlemi  36425  cdlemk9  36444  cdlemk9bN  36445  cdlemkvcl  36447  cdlemk10  36448  cdlemk11  36454  cdlemk11u  36476  cdlemk37  36519  cdlemkfid1N  36526  cdlemkid1  36527  cdlemkid2  36529  cdlemk39s-id  36545  cdlemk48  36555  cdlemk50  36557  cdlemk51  36558  cdlemk52  36559  cdlemk39u  36573  tendoex  36580  dialss  36652  dia0  36658  diaglbN  36661  dia1dim  36667  dia2dimlem2  36671  dia2dimlem3  36672  dia2dimlem10  36679  cdlemm10N  36724  dib1dim  36771  diblss  36776  cdlemn2a  36802  dih1dimb  36846  dihopelvalcpre  36854  dih1  36892  dihmeetlem1N  36896  dihglblem5apreN  36897  dihglbcpreN  36906  dih1dimatlem  36935
  Copyright terms: Public domain W3C validator