Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlco 36535
 Description: The trace of a composition of translations is less than or equal to the join of their traces. Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, second paragraph on p. 117. (Contributed by NM, 2-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlco.l = (le‘𝐾)
trlco.j = (join‘𝐾)
trlco.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlco.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlco.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlco (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))

Proof of Theorem trlco
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trlco.l . . . 4 = (le‘𝐾)
2 eqid 2760 . . . 4 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3 trlco.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
41, 2, 3lhpexnle 35813 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ¬ 𝑝 𝑊)
543ad2ant1 1128 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ¬ 𝑝 𝑊)
6 simpl1 1228 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 simpl2 1230 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → 𝐹𝑇)
8 simpl3 1232 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → 𝐺𝑇)
9 simpr 479 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝 𝑊))
10 trlco.j . . . 4 = (join‘𝐾)
11 trlco.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
12 trlco.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
13 eqid 2760 . . . 4 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
141, 10, 3, 11, 12, 13, 2trlcolem 36534 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
156, 7, 8, 9, 14syl121anc 1482 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
165, 15rexlimddv 3173 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∃wrex 3051   class class class wbr 4804   ∘ ccom 5270  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  lecple 16170  joincjn 17165  meetcmee 17166  Atomscatm 35071  HLchlt 35158  LHypclh 35791  LTrncltrn 35908  trLctrl 35966 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-riotaBAD 34760 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-undef 7569  df-map 8027  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-p1 17261  df-lat 17267  df-clat 17329  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-llines 35305  df-lplanes 35306  df-lvols 35307  df-lines 35308  df-psubsp 35310  df-pmap 35311  df-padd 35603  df-lhyp 35795  df-laut 35796  df-ldil 35911  df-ltrn 35912  df-trl 35967 This theorem is referenced by:  trlcone  36536  cdlemg46  36543  trljco  36548  tendopltp  36588  dialss  36855  diblss  36979
 Copyright terms: Public domain W3C validator