Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlcocnvat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlcocnvat 35519
Description: Commonly used special case of trlcoat 35518. (Contributed by NM, 1-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcoat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlcoat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlcoat.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlcoat.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlcocnvat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem trlcocnvat
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp2l 1085 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → 𝐹𝑇)
3 simp2r 1086 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → 𝐺𝑇)
4 trlcoat.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 trlcoat.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
64, 5ltrncnv 34939 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺𝑇)
71, 3, 6syl2anc 692 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → 𝐺𝑇)
8 simp3 1061 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))
9 trlcoat.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
104, 5, 9trlcnv 34959 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) = (𝑅𝐺))
111, 3, 10syl2anc 692 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑅𝐺) = (𝑅𝐺))
128, 11neeqtrrd 2864 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))
13 trlcoat.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1413, 4, 5, 9trlcoat 35518 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ 𝐴)
151, 2, 7, 12, 14syl121anc 1328 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  ccnv 5078  ccom 5083  cfv 5852  Atomscatm 34057  HLchlt 34144  LHypclh 34777  LTrncltrn 34894  trLctrl 34952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-riotaBAD 33746
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-undef 7351  df-map 7811  df-preset 16856  df-poset 16874  df-plt 16886  df-lub 16902  df-glb 16903  df-join 16904  df-meet 16905  df-p0 16967  df-p1 16968  df-lat 16974  df-clat 17036  df-oposet 33970  df-ol 33972  df-oml 33973  df-covers 34060  df-ats 34061  df-atl 34092  df-cvlat 34116  df-hlat 34145  df-llines 34291  df-lplanes 34292  df-lvols 34293  df-lines 34294  df-psubsp 34296  df-pmap 34297  df-padd 34589  df-lhyp 34781  df-laut 34782  df-ldil 34897  df-ltrn 34898  df-trl 34953
This theorem is referenced by:  cdlemh1  35610  cdlemk3  35628  cdlemk6  35632  cdlemk7  35643  cdlemk12  35645  cdlemkole  35648  cdlemk14  35649  cdlemk15  35650  cdlemk5u  35656  cdlemk6u  35657  cdlemk7u  35665  cdlemk12u  35667  cdlemkfid1N  35716
  Copyright terms: Public domain W3C validator