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Theorem trlcolem 35491
Description: Lemma for trlco 35492. (Contributed by NM, 1-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlco.l = (le‘𝐾)
trlco.j = (join‘𝐾)
trlco.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlco.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlco.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
trlcolem.m = (meet‘𝐾)
trlcolem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
trlcolem (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))

Proof of Theorem trlcolem
StepHypRef Expression
1 simp1l 1083 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2 hllat 34127 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
31, 2syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simp3l 1087 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃𝐴)
5 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 trlcolem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atbase 34053 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
84, 7syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
9 simp1 1059 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 simp2r 1086 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐺𝑇)
11 trlco.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
12 trlco.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13 trlco.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
1411, 6, 12, 13ltrnat 34903 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝑃𝐴) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
159, 10, 4, 14syl3anc 1323 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
165, 6atbase 34053 . . . . . 6 ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 → (𝐺𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
1715, 16syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
18 trlco.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
195, 11, 18latlej1 16981 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 (𝑃 (𝐺𝑃)))
203, 8, 17, 19syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃 (𝑃 (𝐺𝑃)))
215, 18, 6hlatjcl 34130 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑃 (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
221, 4, 15, 21syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
23 simp2l 1085 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑇)
245, 12, 13ltrncl 34888 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝐺𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
259, 23, 17, 24syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
265, 11, 18latjlej1 16986 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑃 (𝑃 (𝐺𝑃)) → (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃)))))
273, 8, 22, 25, 26syl13anc 1325 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 (𝑃 (𝐺𝑃)) → (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃)))))
2820, 27mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))))
295, 18latjcl 16972 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
303, 8, 25, 29syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
315, 18latjcl 16972 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
323, 22, 25, 31syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
33 simp1r 1084 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊𝐻)
345, 12lhpbase 34761 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
3533, 34syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
36 trlcolem.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
375, 11, 36latmlem1 17002 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) (((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊)))
383, 30, 32, 35, 37syl13anc 1325 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) (((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊)))
3928, 38mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) (((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊))
4012, 13ltrnco 35484 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
419, 23, 10, 40syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
42 trlco.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
4311, 18, 36, 6, 12, 13, 42trlval2 34927 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝐺) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) = ((𝑃 ((𝐹𝐺)‘𝑃)) 𝑊))
4441, 43syld3an2 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) = ((𝑃 ((𝐹𝐺)‘𝑃)) 𝑊))
4511, 6, 12, 13ltrncoval 34908 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → ((𝐹𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺𝑃)))
46453adant3r 1320 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺𝑃)))
4746oveq2d 6620 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 ((𝐹𝐺)‘𝑃)) = (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))))
4847oveq1d 6619 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑃 ((𝐹𝐺)‘𝑃)) 𝑊) = ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊))
4944, 48eqtrd 2655 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) = ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊))
5011, 6, 12, 13ltrnel 34902 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊))
5110, 50syld3an2 1370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊))
5211, 18, 36, 6, 12, 13, 42trlval2 34927 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊)) → (𝑅𝐹) = (((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊))
539, 23, 51, 52syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐹) = (((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊))
5411, 18, 36, 6, 12, 13, 42trlval2 34927 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐺) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊))
5510, 54syld3an2 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐺) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊))
5653, 55oveq12d 6622 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) = ((((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊)))
5711, 6, 12, 13ltrnat 34903 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴)
589, 23, 15, 57syl3anc 1323 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴)
595, 18, 6hlatjcl 34130 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴) → ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
601, 15, 58, 59syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
615, 36latmcl 16973 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
623, 60, 35, 61syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
635, 36latmcl 16973 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
643, 22, 35, 63syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
655, 18latjcom 16980 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → ((((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊)) = (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) (((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊)))
663, 62, 64, 65syl3anc 1323 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊)) = (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) (((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊)))
675, 18latjcl 16972 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐺𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
683, 17, 25, 67syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
695, 11, 36latmle2 16998 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) 𝑊)
703, 22, 35, 69syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) 𝑊)
715, 11, 18, 36, 12lhpmod6i1 34802 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) 𝑊) → (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) (((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊)) = ((((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃)))) 𝑊))
729, 64, 68, 70, 71syl121anc 1328 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) (((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊)) = ((((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃)))) 𝑊))
735, 18latjass 17016 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) = (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃)))))
743, 64, 17, 25, 73syl13anc 1325 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) = (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃)))))
755, 11, 18latlej2 16982 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐺𝑃) (𝑃 (𝐺𝑃)))
763, 8, 17, 75syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺𝑃) (𝑃 (𝐺𝑃)))
775, 11, 18, 36, 12lhpmod2i2 34801 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃 (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐺𝑃) (𝑃 (𝐺𝑃))) → (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) (𝐺𝑃)) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝑊 (𝐺𝑃))))
789, 22, 17, 76, 77syl121anc 1328 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) (𝐺𝑃)) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝑊 (𝐺𝑃))))
79 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
8011, 18, 79, 6, 12lhpjat1 34783 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊)) → (𝑊 (𝐺𝑃)) = (1.‘𝐾))
819, 51, 80syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑊 (𝐺𝑃)) = (1.‘𝐾))
8281oveq2d 6620 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝑊 (𝐺𝑃))) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) (1.‘𝐾)))
83 hlol 34125 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
841, 83syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ OL)
855, 36, 79olm11 33991 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) (1.‘𝐾)) = (𝑃 (𝐺𝑃)))
8684, 22, 85syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) (1.‘𝐾)) = (𝑃 (𝐺𝑃)))
8778, 82, 863eqtrd 2659 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) (𝐺𝑃)) = (𝑃 (𝐺𝑃)))
8887oveq1d 6619 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))))
8974, 88eqtr3d 2657 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃)))) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))))
9089oveq1d 6619 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃)))) 𝑊) = (((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊))
9172, 90eqtrd 2655 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) (((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊)) = (((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊))
9256, 66, 913eqtrd 2659 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) = (((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊))
9339, 49, 923brtr4d 4645 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  ccom 5078  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  lecple 15869  joincjn 16865  meetcmee 16866  1.cp1 16959  Latclat 16966  OLcol 33938  Atomscatm 34027  HLchlt 34114  LHypclh 34747  LTrncltrn 34864  trLctrl 34922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-riotaBAD 33716
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-undef 7344  df-map 7804  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-p1 16961  df-lat 16967  df-clat 17029  df-oposet 33940  df-ol 33942  df-oml 33943  df-covers 34030  df-ats 34031  df-atl 34062  df-cvlat 34086  df-hlat 34115  df-llines 34261  df-lplanes 34262  df-lvols 34263  df-lines 34264  df-psubsp 34266  df-pmap 34267  df-padd 34559  df-lhyp 34751  df-laut 34752  df-ldil 34867  df-ltrn 34868  df-trl 34923
This theorem is referenced by:  trlco  35492
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