Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlcone Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlcone 35482
Description: If two translations have different traces, the trace of their composition is also different. (Contributed by NM, 14-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcone.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlcone.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlcone.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlcone.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlcone (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺)))

Proof of Theorem trlcone
StepHypRef Expression
1 simpl3l 1114 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))
2 simp11 1089 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 simp12l 1172 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐹𝑇)
4 trlcone.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 trlcone.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
64, 5ltrncnv 34898 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
72, 3, 6syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐹𝑇)
8 simp12r 1173 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐺𝑇)
94, 5ltrnco 35473 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
102, 3, 8, 9syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
11 eqid 2626 . . . . . . . . . 10 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
12 eqid 2626 . . . . . . . . . 10 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
13 trlcone.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
1411, 12, 4, 5, 13trlco 35481 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝐺) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐹 ∘ (𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝐹𝐺))))
152, 7, 10, 14syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅‘(𝐹 ∘ (𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝐹𝐺))))
16 coass 5616 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐹) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ (𝐹𝐺))
17 trlcone.b . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = (Base‘𝐾)
1817, 4, 5ltrn1o 34876 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
192, 3, 18syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
20 f1ococnv1 6124 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
2221coeq1d 5248 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → ((𝐹𝐹) ∘ 𝐺) = (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺))
2317, 4, 5ltrn1o 34876 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐵)
242, 8, 23syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐵)
25 f1of 6096 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐵𝐺:𝐵𝐵)
26 fcoi2 6038 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝐵𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺) = 𝐺)
2724, 25, 263syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺) = 𝐺)
2822, 27eqtrd 2660 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → ((𝐹𝐹) ∘ 𝐺) = 𝐺)
2916, 28syl5reqr 2675 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐺 = (𝐹 ∘ (𝐹𝐺)))
3029fveq2d 6154 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐺) = (𝑅‘(𝐹 ∘ (𝐹𝐺))))
31 simp11l 1170 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐾 ∈ HL)
32 simp2 1060 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
33 eqid 2626 . . . . . . . . . . 11 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3412, 33hlatjidm 34121 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅𝐹)) = (𝑅𝐹))
3531, 32, 34syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → ((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅𝐹)) = (𝑅𝐹))
364, 5, 13trlcnv 34918 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
372, 3, 36syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
3837eqcomd 2632 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
39 simp3 1061 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺)))
4038, 39oveq12d 6623 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → ((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅𝐹)) = ((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝐹𝐺))))
4135, 40eqtr3d 2662 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐹) = ((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝐹𝐺))))
4215, 30, 413brtr4d 4650 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐺)(le‘𝐾)(𝑅𝐹))
43 hlatl 34113 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
4431, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐾 ∈ AtLat)
45 simp13r 1175 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
4617, 33, 4, 5, 13trlnidat 34926 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐺) ∈ (Atoms‘𝐾))
472, 8, 45, 46syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐺) ∈ (Atoms‘𝐾))
4811, 33atcmp 34064 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅𝐺) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅𝐺)(le‘𝐾)(𝑅𝐹) ↔ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐹)))
4944, 47, 32, 48syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → ((𝑅𝐺)(le‘𝐾)(𝑅𝐹) ↔ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐹)))
5042, 49mpbid 222 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐺) = (𝑅𝐹))
5150eqcomd 2632 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))
52513expia 1264 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺)) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)))
5352necon3d 2817 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺))))
541, 53mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺)))
55 simpl3r 1115 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
56 simpl1 1062 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
57 simpl2r 1113 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐺𝑇)
58 eqid 2626 . . . . . . . 8 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
5917, 58, 4, 5, 13trlid0b 34931 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
6056, 57, 59syl2anc 692 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
6160necon3bid 2840 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐺) ≠ (0.‘𝐾)))
6255, 61mpbid 222 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝑅𝐺) ≠ (0.‘𝐾))
6362necomd 2851 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (0.‘𝐾) ≠ (𝑅𝐺))
64 simpr 477 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾))
65 simpl2l 1112 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐹𝑇)
6617, 58, 4, 5, 13trlid0b 34931 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)))
6756, 65, 66syl2anc 692 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)))
6864, 67mpbird 247 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
6968coeq1d 5248 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐹𝐺) = (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺))
7056, 57, 23syl2anc 692 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐵)
7170, 25, 263syl 18 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺) = 𝐺)
7269, 71eqtrd 2660 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐹𝐺) = 𝐺)
7372fveq2d 6154 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) = (𝑅𝐺))
7463, 64, 733netr4d 2873 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺)))
75 simp1 1059 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
76 simp2l 1085 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐹𝑇)
7758, 33, 4, 5, 13trlator0 34924 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∨ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)))
7875, 76, 77syl2anc 692 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∨ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)))
7954, 74, 78mpjaodan 826 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796   class class class wbr 4618   I cid 4989  ccnv 5078  cres 5081  ccom 5083  wf 5846  1-1-ontowf1o 5849  cfv 5850  (class class class)co 6605  Basecbs 15776  lecple 15864  joincjn 16860  0.cp0 16953  Atomscatm 34016  AtLatcal 34017  HLchlt 34103  LHypclh 34736  LTrncltrn 34853  trLctrl 34911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-riotaBAD 33705
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-undef 7345  df-map 7805  df-preset 16844  df-poset 16862  df-plt 16874  df-lub 16890  df-glb 16891  df-join 16892  df-meet 16893  df-p0 16955  df-p1 16956  df-lat 16962  df-clat 17024  df-oposet 33929  df-ol 33931  df-oml 33932  df-covers 34019  df-ats 34020  df-atl 34051  df-cvlat 34075  df-hlat 34104  df-llines 34250  df-lplanes 34251  df-lvols 34252  df-lines 34253  df-psubsp 34255  df-pmap 34256  df-padd 34548  df-lhyp 34740  df-laut 34741  df-ldil 34856  df-ltrn 34857  df-trl 34912
This theorem is referenced by:  trljco  35494  cdlemh2  35570  cdlemh  35571  cdlemk3  35587  cdlemk12  35604  cdlemk12u  35626  cdlemkfid1N  35675  cdlemk54  35712
  Copyright terms: Public domain W3C validator