Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlconid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlconid 35528
Description: The composition of two different translations is not the identity translation. (Contributed by NM, 22-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlconid.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlconid.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlconid.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlconid.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlconid (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem trlconid
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . 3 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
2 trlconid.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 trlconid.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4 trlconid.r . . 3 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
51, 2, 3, 4trlcoat 35526 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Atoms‘𝐾))
6 simp1 1059 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 simp2l 1085 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → 𝐹𝑇)
8 simp2r 1086 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → 𝐺𝑇)
92, 3ltrnco 35522 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
106, 7, 8, 9syl3anc 1323 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
11 trlconid.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
1211, 1, 2, 3, 4trlnidatb 34979 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝐺) ∈ 𝑇) → ((𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Atoms‘𝐾)))
136, 10, 12syl2anc 692 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → ((𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Atoms‘𝐾)))
145, 13mpbird 247 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝐹𝐺) ≠ ( I ↾ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   I cid 4989  cres 5081  ccom 5083  cfv 5852  Basecbs 15792  Atomscatm 34065  HLchlt 34152  LHypclh 34785  LTrncltrn 34902  trLctrl 34960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-riotaBAD 33754
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-undef 7351  df-map 7811  df-preset 16860  df-poset 16878  df-plt 16890  df-lub 16906  df-glb 16907  df-join 16908  df-meet 16909  df-p0 16971  df-p1 16972  df-lat 16978  df-clat 17040  df-oposet 33978  df-ol 33980  df-oml 33981  df-covers 34068  df-ats 34069  df-atl 34100  df-cvlat 34124  df-hlat 34153  df-llines 34299  df-lplanes 34300  df-lvols 34301  df-lines 34302  df-psubsp 34304  df-pmap 34305  df-padd 34597  df-lhyp 34789  df-laut 34790  df-ldil 34905  df-ltrn 34906  df-trl 34961
This theorem is referenced by:  cdlemk47  35752  cdlemk52  35757  cdlemk53a  35758
  Copyright terms: Public domain W3C validator