Theorem trlf1 27479

Description: The enumeration 𝐹 of a trail ⟨𝐹, 𝑃⟩ is injective. (Contributed by AV, 20-Feb-2021.) (Proof shortened by AV, 29-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
trlf1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
trlf1	⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)

Proof of Theorem trlf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istrl 27477	. 2 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹))
2		trlf1.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3	2	wlkf 27395	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
4		wrdf 13865	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
5		df-f1 6359	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 ↔ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 ∧ Fun ◡𝐹))
6	5	simplbi2 503	. . . 4 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → (Fun ◡𝐹 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼))
7	3, 4, 6	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (Fun ◡𝐹 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼))
8	7	imp 409	. 2 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
9	1, 8	sylbi 219	1 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5065  ^◡ccnv 5553  dom cdm 5554  Fun wfun 6348  ⟶wf 6350  –1-1→wf1 6351  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  0cc0 10536  ..^cfzo 13032  ♯chash 13689  Word cword 13860  iEdgciedg 26781  Walkscwlks 27377  Trailsctrls 27471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1058  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-hash 13690  df-word 13861  df-wlks 27380  df-trls 27473

This theorem is referenced by:  trlreslem  27480  crctcshtrl  27600  trlsegvdeglem6  28003  trlsegvdeg  28005