Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlid0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlid0b 34283
Description: A lattice translation is the identity iff its trace is zero. (Contributed by NM, 14-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlid0b.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlid0b.z 0 = (0.‘𝐾)
trlid0b.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlid0b.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlid0b.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlid0b (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) = 0 ))

Proof of Theorem trlid0b
StepHypRef Expression
1 trlid0b.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2606 . . . 4 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3 trlid0b.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 trlid0b.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 trlid0b.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5trlnidatb 34282 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)))
7 trlid0b.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
87, 2, 3, 4, 5trlatn0 34277 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ (𝑅𝐹) ≠ 0 ))
96, 8bitrd 266 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) ≠ 0 ))
109necon4bid 2823 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2776   I cid 4935  cres 5027  cfv 5787  Basecbs 15638  0.cp0 16803  Atomscatm 33368  HLchlt 33455  LHypclh 34088  LTrncltrn 34205  trLctrl 34263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-map 7720  df-preset 16694  df-poset 16712  df-plt 16724  df-lub 16740  df-glb 16741  df-join 16742  df-meet 16743  df-p0 16805  df-p1 16806  df-lat 16812  df-clat 16874  df-oposet 33281  df-ol 33283  df-oml 33284  df-covers 33371  df-ats 33372  df-atl 33403  df-cvlat 33427  df-hlat 33456  df-lhyp 34092  df-laut 34093  df-ldil 34208  df-ltrn 34209  df-trl 34264
This theorem is referenced by:  trlnid  34284  trlcoat  34829  trlcone  34834  trljco  34846  tendoid  34879  tendoex  35081  dia0  35159
  Copyright terms: Public domain W3C validator