Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trljco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trljco 37756
Description: Trace joined with trace of composition. (Contributed by NM, 15-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trljco.j = (join‘𝐾)
trljco.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trljco.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trljco.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trljco (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))

Proof of Theorem trljco
StepHypRef Expression
1 coeq1 5721 . . . . 5 (𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) → (𝐹𝐺) = (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺))
2 eqid 2818 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 trljco.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 trljco.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4ltrn1o 37140 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
653adant2 1123 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
7 f1of 6608 . . . . . 6 (𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → 𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
8 fcoi2 6546 . . . . . 6 (𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
96, 7, 83syl 18 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
101, 9sylan9eqr 2875 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐹𝐺) = 𝐺)
1110fveq2d 6667 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) = (𝑅𝐺))
1211oveq2d 7161 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
13 simp1l 1189 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
1413hllatd 36380 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
15 trljco.r . . . . . . . 8 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
162, 3, 4, 15trlcl 37180 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
17163adant3 1124 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
18 trljco.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
192, 18latjidm 17672 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐹)) = (𝑅𝐹))
2014, 17, 19syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐹)) = (𝑅𝐹))
21 hlol 36377 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
2213, 21syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → 𝐾 ∈ OL)
23 eqid 2818 . . . . . . 7 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
242, 18, 23olj01 36241 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅𝐹) (0.‘𝐾)) = (𝑅𝐹))
2522, 17, 24syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (0.‘𝐾)) = (𝑅𝐹))
2620, 25eqtr4d 2856 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐹)) = ((𝑅𝐹) (0.‘𝐾)))
2726adantr 481 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐹)) = ((𝑅𝐹) (0.‘𝐾)))
28 coeq2 5722 . . . . . 6 (𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) → (𝐹𝐺) = (𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
292, 3, 4ltrn1o 37140 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
30293adant3 1124 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
31 f1of 6608 . . . . . . 7 (𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → 𝐹:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
32 fcoi1 6545 . . . . . . 7 (𝐹:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = 𝐹)
3330, 31, 323syl 18 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = 𝐹)
3428, 33sylan9eqr 2875 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐹𝐺) = 𝐹)
3534fveq2d 6667 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) = (𝑅𝐹))
3635oveq2d 7161 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐹)))
372, 23, 3, 4, 15trlid0b 37194 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
38373adant2 1123 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
3938biimpa 477 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾))
4039oveq2d 7161 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) = ((𝑅𝐹) (0.‘𝐾)))
4127, 36, 403eqtr4d 2863 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
42 eqid 2818 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
4314adantr 481 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → 𝐾 ∈ Lat)
44 simp1 1128 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
453, 4ltrnco 37735 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
462, 3, 4, 15trlcl 37180 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝐺) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Base‘𝐾))
4744, 45, 46syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Base‘𝐾))
482, 18latjcl 17649 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) ∈ (Base‘𝐾))
4914, 17, 47, 48syl3anc 1363 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) ∈ (Base‘𝐾))
5049adantr 481 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) ∈ (Base‘𝐾))
512, 3, 4, 15trlcl 37180 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
52513adant2 1123 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
532, 18latjcl 17649 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ∈ (Base‘𝐾))
5414, 17, 52, 53syl3anc 1363 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ∈ (Base‘𝐾))
5554adantr 481 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ∈ (Base‘𝐾))
562, 42, 18latlej1 17658 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅𝐹)(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
5714, 17, 52, 56syl3anc 1363 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅𝐹)(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
5842, 18, 3, 4, 15trlco 37743 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅‘(𝐹𝐺))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
592, 42, 18latjle12 17660 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑅𝐹)(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ∧ (𝑅‘(𝐹𝐺))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))) ↔ ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))))
6014, 17, 47, 54, 59syl13anc 1364 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (((𝑅𝐹)(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ∧ (𝑅‘(𝐹𝐺))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))) ↔ ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))))
6157, 58, 60mpbi2and 708 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
6261adantr 481 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
63 simpr 485 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))
6463oveq2d 7161 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐹)) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
652, 42, 18latlej1 17658 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅𝐹)(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))))
6614, 17, 47, 65syl3anc 1363 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅𝐹)(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))))
6720, 66eqbrtrd 5079 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐹))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))))
6867adantr 481 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐹))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))))
6964, 68eqbrtrrd 5081 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))))
702, 42, 43, 50, 55, 62, 69latasymd 17655 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
7161adantr 481 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
72 simpl1l 1216 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐾 ∈ HL)
73 simpl1 1183 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
74 simpl2 1184 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐹𝑇)
75 simpr1 1186 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
76 eqid 2818 . . . . . 6 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
772, 76, 3, 4, 15trlnidat 37189 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
7873, 74, 75, 77syl3anc 1363 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
79 simpl3 1185 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐺𝑇)
8074, 79jca 512 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐹𝑇𝐺𝑇))
81 simpr3 1188 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))
8276, 3, 4, 15trlcoat 37739 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Atoms‘𝐾))
8373, 80, 81, 82syl3anc 1363 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Atoms‘𝐾))
84 simpr2 1187 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
852, 3, 4, 15trlcone 37744 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺)))
8673, 80, 81, 84, 85syl112anc 1366 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺)))
872, 76, 3, 4, 15trlnidat 37189 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅𝐺) ∈ (Atoms‘𝐾))
8873, 79, 84, 87syl3anc 1363 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐺) ∈ (Atoms‘𝐾))
8942, 18, 76ps-1 36493 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺))) ∧ ((𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐺) ∈ (Atoms‘𝐾))) → (((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ↔ ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))))
9072, 78, 83, 86, 78, 88, 89syl132anc 1380 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ↔ ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))))
9171, 90mpbid 233 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
9212, 41, 70, 91pm2.61da3ne 3103 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057   I cid 5452  cres 5550  ccom 5552  wf 6344  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  lecple 16560  joincjn 17542  0.cp0 17635  Latclat 17643  OLcol 36190  Atomscatm 36279  HLchlt 36366  LHypclh 37000  LTrncltrn 37117  trLctrl 37174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-riotaBAD 35969
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-undef 7928  df-map 8397  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-llines 36514  df-lplanes 36515  df-lvols 36516  df-lines 36517  df-psubsp 36519  df-pmap 36520  df-padd 36812  df-lhyp 37004  df-laut 37005  df-ldil 37120  df-ltrn 37121  df-trl 37175
This theorem is referenced by:  trljco2  37757  cdlemkid1  37938
  Copyright terms: Public domain W3C validator