Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trljco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trljco 37758
Description: Trace joined with trace of composition. (Contributed by NM, 15-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trljco.j = (join‘𝐾)
trljco.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trljco.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trljco.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trljco (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))

Proof of Theorem trljco
StepHypRef Expression
1 coeq1 5722 . . . . 5 (𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) → (𝐹𝐺) = (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺))
2 eqid 2821 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 trljco.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 trljco.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4ltrn1o 37142 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
653adant2 1123 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
7 f1of 6609 . . . . . 6 (𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → 𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
8 fcoi2 6547 . . . . . 6 (𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
96, 7, 83syl 18 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
101, 9sylan9eqr 2878 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐹𝐺) = 𝐺)
1110fveq2d 6668 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) = (𝑅𝐺))
1211oveq2d 7161 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
13 simp1l 1189 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
1413hllatd 36382 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
15 trljco.r . . . . . . . 8 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
162, 3, 4, 15trlcl 37182 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
17163adant3 1124 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
18 trljco.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
192, 18latjidm 17674 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐹)) = (𝑅𝐹))
2014, 17, 19syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐹)) = (𝑅𝐹))
21 hlol 36379 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
2213, 21syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → 𝐾 ∈ OL)
23 eqid 2821 . . . . . . 7 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
242, 18, 23olj01 36243 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅𝐹) (0.‘𝐾)) = (𝑅𝐹))
2522, 17, 24syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (0.‘𝐾)) = (𝑅𝐹))
2620, 25eqtr4d 2859 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐹)) = ((𝑅𝐹) (0.‘𝐾)))
2726adantr 481 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐹)) = ((𝑅𝐹) (0.‘𝐾)))
28 coeq2 5723 . . . . . 6 (𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) → (𝐹𝐺) = (𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
292, 3, 4ltrn1o 37142 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
30293adant3 1124 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
31 f1of 6609 . . . . . . 7 (𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → 𝐹:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
32 fcoi1 6546 . . . . . . 7 (𝐹:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = 𝐹)
3330, 31, 323syl 18 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = 𝐹)
3428, 33sylan9eqr 2878 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐹𝐺) = 𝐹)
3534fveq2d 6668 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) = (𝑅𝐹))
3635oveq2d 7161 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐹)))
372, 23, 3, 4, 15trlid0b 37196 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
38373adant2 1123 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
3938biimpa 477 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾))
4039oveq2d 7161 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) = ((𝑅𝐹) (0.‘𝐾)))
4127, 36, 403eqtr4d 2866 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
42 eqid 2821 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
4314adantr 481 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → 𝐾 ∈ Lat)
44 simp1 1128 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
453, 4ltrnco 37737 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
462, 3, 4, 15trlcl 37182 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝐺) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Base‘𝐾))
4744, 45, 46syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Base‘𝐾))
482, 18latjcl 17651 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) ∈ (Base‘𝐾))
4914, 17, 47, 48syl3anc 1363 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) ∈ (Base‘𝐾))
5049adantr 481 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) ∈ (Base‘𝐾))
512, 3, 4, 15trlcl 37182 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
52513adant2 1123 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
532, 18latjcl 17651 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ∈ (Base‘𝐾))
5414, 17, 52, 53syl3anc 1363 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ∈ (Base‘𝐾))
5554adantr 481 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ∈ (Base‘𝐾))
562, 42, 18latlej1 17660 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅𝐹)(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
5714, 17, 52, 56syl3anc 1363 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅𝐹)(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
5842, 18, 3, 4, 15trlco 37745 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅‘(𝐹𝐺))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
592, 42, 18latjle12 17662 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑅𝐹)(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ∧ (𝑅‘(𝐹𝐺))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))) ↔ ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))))
6014, 17, 47, 54, 59syl13anc 1364 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (((𝑅𝐹)(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ∧ (𝑅‘(𝐹𝐺))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))) ↔ ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))))
6157, 58, 60mpbi2and 708 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
6261adantr 481 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
63 simpr 485 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))
6463oveq2d 7161 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐹)) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
652, 42, 18latlej1 17660 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅𝐹)(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))))
6614, 17, 47, 65syl3anc 1363 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅𝐹)(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))))
6720, 66eqbrtrd 5080 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐹))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))))
6867adantr 481 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐹))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))))
6964, 68eqbrtrrd 5082 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))))
702, 42, 43, 50, 55, 62, 69latasymd 17657 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
7161adantr 481 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
72 simpl1l 1216 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐾 ∈ HL)
73 simpl1 1183 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
74 simpl2 1184 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐹𝑇)
75 simpr1 1186 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
76 eqid 2821 . . . . . 6 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
772, 76, 3, 4, 15trlnidat 37191 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
7873, 74, 75, 77syl3anc 1363 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
79 simpl3 1185 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐺𝑇)
8074, 79jca 512 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐹𝑇𝐺𝑇))
81 simpr3 1188 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))
8276, 3, 4, 15trlcoat 37741 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Atoms‘𝐾))
8373, 80, 81, 82syl3anc 1363 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Atoms‘𝐾))
84 simpr2 1187 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
852, 3, 4, 15trlcone 37746 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺)))
8673, 80, 81, 84, 85syl112anc 1366 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺)))
872, 76, 3, 4, 15trlnidat 37191 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅𝐺) ∈ (Atoms‘𝐾))
8873, 79, 84, 87syl3anc 1363 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐺) ∈ (Atoms‘𝐾))
8942, 18, 76ps-1 36495 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺))) ∧ ((𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐺) ∈ (Atoms‘𝐾))) → (((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ↔ ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))))
9072, 78, 83, 86, 78, 88, 89syl132anc 1380 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ↔ ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))))
9171, 90mpbid 233 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
9212, 41, 70, 91pm2.61da3ne 3106 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3016   class class class wbr 5058   I cid 5453  cres 5551  ccom 5553  wf 6345  1-1-ontowf1o 6348  cfv 6349  (class class class)co 7145  Basecbs 16473  lecple 16562  joincjn 17544  0.cp0 17637  Latclat 17645  OLcol 36192  Atomscatm 36281  HLchlt 36368  LHypclh 37002  LTrncltrn 37119  trLctrl 37176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-riotaBAD 35971
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-undef 7930  df-map 8398  df-proset 17528  df-poset 17546  df-plt 17558  df-lub 17574  df-glb 17575  df-join 17576  df-meet 17577  df-p0 17639  df-p1 17640  df-lat 17646  df-clat 17708  df-oposet 36194  df-ol 36196  df-oml 36197  df-covers 36284  df-ats 36285  df-atl 36316  df-cvlat 36340  df-hlat 36369  df-llines 36516  df-lplanes 36517  df-lvols 36518  df-lines 36519  df-psubsp 36521  df-pmap 36522  df-padd 36814  df-lhyp 37006  df-laut 37007  df-ldil 37122  df-ltrn 37123  df-trl 37177
This theorem is referenced by:  trljco2  37759  cdlemkid1  37940
  Copyright terms: Public domain W3C validator