Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlnid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlnid 34283
Description: Different translations with the same trace cannot be the identity. (Contributed by NM, 26-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlnid.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlnid.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlnid.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlnid.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlnid (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem trlnid
StepHypRef Expression
1 simp3l 1081 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → 𝐹𝐺)
2 simp1 1053 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 simp2l 1079 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → 𝐹𝑇)
4 trlnid.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 eqid 2605 . . . . . 6 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
6 trlnid.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 trlnid.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8 trlnid.r . . . . . 6 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
94, 5, 6, 7, 8trlid0b 34282 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)))
102, 3, 9syl2anc 690 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)))
1110biimpar 500 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
12 simp3r 1082 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))
1312eqeq1d 2607 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → ((𝑅𝐹) = (0.‘𝐾) ↔ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
1413biimpa 499 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾))
15 simpl1 1056 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
16 simpl2r 1107 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐺𝑇)
174, 5, 6, 7, 8trlid0b 34282 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
1815, 16, 17syl2anc 690 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
1914, 18mpbird 245 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))
2011, 19eqtr4d 2642 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐹 = 𝐺)
2120ex 448 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → ((𝑅𝐹) = (0.‘𝐾) → 𝐹 = 𝐺))
2210, 21sylbid 228 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → 𝐹 = 𝐺))
2322necon3d 2798 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → (𝐹𝐺𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
241, 23mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝐺 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775   I cid 4934  cres 5026  cfv 5786  Basecbs 15637  0.cp0 16802  HLchlt 33454  LHypclh 34087  LTrncltrn 34204  trLctrl 34262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-map 7719  df-preset 16693  df-poset 16711  df-plt 16723  df-lub 16739  df-glb 16740  df-join 16741  df-meet 16742  df-p0 16804  df-p1 16805  df-lat 16811  df-clat 16873  df-oposet 33280  df-ol 33282  df-oml 33283  df-covers 33370  df-ats 33371  df-atl 33402  df-cvlat 33426  df-hlat 33455  df-lhyp 34091  df-laut 34092  df-ldil 34207  df-ltrn 34208  df-trl 34263
This theorem is referenced by:  cdlemk43N  35068  cdlemk35u  35069  cdlemk55u1  35070  cdlemk39u1  35072  cdlemk19u1  35074
  Copyright terms: Public domain W3C validator