Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlnidat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlnidat 34277
Description: The trace of a lattice translation other than the identity is an atom. Remark above Lemma C in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 23-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
trlnidat.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlnidat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlnidat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlnidat.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlnidat.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlnidat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem trlnidat
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trlnidat.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2605 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 trlnidat.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 trlnidat.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 trlnidat.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5ltrnnid 34239 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ∃𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝))
7 simp11 1083 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
8 simp2 1054 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝)) → 𝑝𝐴)
9 simp3l 1081 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝)) → ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
10 simp12 1084 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝)) → 𝐹𝑇)
11 simp3r 1082 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝)) → (𝐹𝑝) ≠ 𝑝)
12 trlnidat.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
132, 3, 4, 5, 12trlat 34273 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
147, 8, 9, 10, 11, 13syl122anc 1326 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
1514rexlimdv3a 3010 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (∃𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴))
166, 15mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  wrex 2892   class class class wbr 4573   I cid 4934  cres 5026  cfv 5786  Basecbs 15637  lecple 15717  Atomscatm 33367  HLchlt 33454  LHypclh 34087  LTrncltrn 34204  trLctrl 34262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-map 7719  df-preset 16693  df-poset 16711  df-plt 16723  df-lub 16739  df-glb 16740  df-join 16741  df-meet 16742  df-p0 16804  df-p1 16805  df-lat 16811  df-clat 16873  df-oposet 33280  df-ol 33282  df-oml 33283  df-covers 33370  df-ats 33371  df-atl 33402  df-cvlat 33426  df-hlat 33455  df-lhyp 34091  df-laut 34092  df-ldil 34207  df-ltrn 34208  df-trl 34263
This theorem is referenced by:  ltrnnidn  34278  trlnidatb  34281  trlcone  34833  cdlemg46  34840  trljco  34845  cdlemh2  34921  cdlemh  34922  tendotr  34935  cdlemk3  34938  cdlemk12  34955  cdlemkole  34958  cdlemk14  34959  cdlemk15  34960  cdlemk1u  34964  cdlemk5u  34966  cdlemk12u  34977  cdlemk37  35019  cdlemk39  35021  cdlemkid1  35027  cdlemk47  35054  cdlemk51  35058  cdlemk52  35059  cdleml1N  35081
  Copyright terms: Public domain W3C validator