Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlnidat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlnidat 35286
 Description: The trace of a lattice translation other than the identity is an atom. Remark above Lemma C in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 23-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
trlnidat.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlnidat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlnidat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlnidat.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlnidat.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlnidat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem trlnidat
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trlnidat.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2621 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 trlnidat.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 trlnidat.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 trlnidat.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5ltrnnid 35248 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ∃𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝))
7 simp11 1090 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
8 simp2 1061 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝)) → 𝑝𝐴)
9 simp3l 1088 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝)) → ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
10 simp12 1091 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝)) → 𝐹𝑇)
11 simp3r 1089 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝)) → (𝐹𝑝) ≠ 𝑝)
12 trlnidat.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
132, 3, 4, 5, 12trlat 35282 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
147, 8, 9, 10, 11, 13syl122anc 1334 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
1514rexlimdv3a 3031 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (∃𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴))
166, 15mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1482   ∈ wcel 1989   ≠ wne 2793  ∃wrex 2912   class class class wbr 4651   I cid 5021   ↾ cres 5114  ‘cfv 5886  Basecbs 15851  lecple 15942  Atomscatm 34376  HLchlt 34463  LHypclh 35096  LTrncltrn 35213  trLctrl 35271 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-map 7856  df-preset 16922  df-poset 16940  df-plt 16952  df-lub 16968  df-glb 16969  df-join 16970  df-meet 16971  df-p0 17033  df-p1 17034  df-lat 17040  df-clat 17102  df-oposet 34289  df-ol 34291  df-oml 34292  df-covers 34379  df-ats 34380  df-atl 34411  df-cvlat 34435  df-hlat 34464  df-lhyp 35100  df-laut 35101  df-ldil 35216  df-ltrn 35217  df-trl 35272 This theorem is referenced by:  ltrnnidn  35287  trlnidatb  35290  trlcone  35842  cdlemg46  35849  trljco  35854  cdlemh2  35930  cdlemh  35931  tendotr  35944  cdlemk3  35947  cdlemk12  35964  cdlemkole  35967  cdlemk14  35968  cdlemk15  35969  cdlemk1u  35973  cdlemk5u  35975  cdlemk12u  35986  cdlemk37  36028  cdlemk39  36030  cdlemkid1  36036  cdlemk47  36063  cdlemk51  36067  cdlemk52  36068  cdleml1N  36090
 Copyright terms: Public domain W3C validator