Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlreslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlreslem 40902
Description: Lemma for trlres 40903. Formerly part of proof of eupthres 41378. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.) (Revised by AV, 6-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
trlres.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlres.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlres.d (𝜑𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃)
trlres.n (𝜑𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
trlres.h 𝐻 = (𝐹 ↾ (0..^𝑁))
Assertion
Ref Expression
trlreslem (𝜑𝐻:(0..^(#‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))

Proof of Theorem trlreslem
StepHypRef Expression
1 trlres.d . . . 4 (𝜑𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃)
2 trlres.i . . . . 5 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
32trlf1 40901 . . . 4 (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
5 trlres.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
6 elfzouz2 12308 . . . 4 (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (#‘𝐹) ∈ (ℤ𝑁))
7 fzoss2 12320 . . . 4 ((#‘𝐹) ∈ (ℤ𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
85, 6, 73syl 18 . . 3 (𝜑 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
9 f1ores 6049 . . 3 ((𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 ∧ (0..^𝑁) ⊆ (0..^(#‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(𝐹 “ (0..^𝑁)))
104, 8, 9syl2anc 690 . 2 (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(𝐹 “ (0..^𝑁)))
11 trlres.h . . . 4 𝐻 = (𝐹 ↾ (0..^𝑁))
1211a1i 11 . . 3 (𝜑𝐻 = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
1311fveq2i 6091 . . . . 5 (#‘𝐻) = (#‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
14 trlis1wlk 40900 . . . . . . 7 (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
1521wlkf 40814 . . . . . . 7 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
161, 14, 153syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
17 elfzofz 12309 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹)))
185, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹)))
19 1wlkreslem0 40872 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) → (#‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) = 𝑁)
2016, 18, 19syl2anc 690 . . . . 5 (𝜑 → (#‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) = 𝑁)
2113, 20syl5eq 2655 . . . 4 (𝜑 → (#‘𝐻) = 𝑁)
2221oveq2d 6543 . . 3 (𝜑 → (0..^(#‘𝐻)) = (0..^𝑁))
23 wrdf 13111 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐼)
24 fimass 5979 . . . . . 6 (𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐼 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼)
2515, 23, 243syl 18 . . . . 5 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼)
261, 14, 253syl 18 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼)
27 ssdmres 5327 . . . 4 ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼 ↔ dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) = (𝐹 “ (0..^𝑁)))
2826, 27sylib 206 . . 3 (𝜑 → dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) = (𝐹 “ (0..^𝑁)))
2912, 22, 28f1oeq123d 6031 . 2 (𝜑 → (𝐻:(0..^(#‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ↔ (𝐹 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(𝐹 “ (0..^𝑁))))
3010, 29mpbird 245 1 (𝜑𝐻:(0..^(#‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  wss 3539   class class class wbr 4577  dom cdm 5028  cres 5030  cima 5031  wf 5786  1-1wf1 5787  1-1-ontowf1o 5789  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9792  cuz 11519  ...cfz 12152  ..^cfzo 12289  #chash 12934  Word cword 13092  Vtxcvtx 40224  iEdgciedg 40225  1Walksc1wlks 40791  TrailSctrls 40894
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-ifp 1006  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-hash 12935  df-word 13100  df-substr 13104  df-1wlks 40795  df-trls 40896
This theorem is referenced by:  trlres  40903  eupthres  41378
  Copyright terms: Public domain W3C validator