Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpred0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trpred0 32039
Description: The class of transitive predecessors is empty when 𝐴 is empty. (Contributed by Scott Fenton, 30-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
trpred0 TrPred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∅

Proof of Theorem trpred0
Dummy variables 𝑎 𝑖 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dftrpred2 32022 . 2 TrPred(𝑅, ∅, 𝑋) = 𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)
2 pred0 5869 . . . . . . . . . . 11 Pred(𝑅, ∅, 𝑦) = ∅
32a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑎 → Pred(𝑅, ∅, 𝑦) = ∅)
43iuneq2i 4689 . . . . . . . . 9 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦) = 𝑦𝑎
5 iun0 4726 . . . . . . . . 9 𝑦𝑎 ∅ = ∅
64, 5eqtri 2780 . . . . . . . 8 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦) = ∅
76mpteq2i 4891 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)) = (𝑎 ∈ V ↦ ∅)
8 pred0 5869 . . . . . . 7 Pred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∅
9 rdgeq12 7676 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)) = (𝑎 ∈ V ↦ ∅) ∧ Pred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∅) → rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) = rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅))
107, 8, 9mp2an 710 . . . . . 6 rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) = rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅)
1110reseq1i 5545 . . . . 5 (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω) = (rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)
1211fveq1i 6351 . . . 4 ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖)
13 nn0suc 7253 . . . . 5 (𝑖 ∈ ω → (𝑖 = ∅ ∨ ∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = suc 𝑗))
14 fveq2 6350 . . . . . . 7 (𝑖 = ∅ → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘∅))
15 0ex 4940 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
16 fr0g 7698 . . . . . . . 8 (∅ ∈ V → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘∅) = ∅)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . 7 ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘∅) = ∅
1814, 17syl6eq 2808 . . . . . 6 (𝑖 = ∅ → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
19 nfcv 2900 . . . . . . . . . 10 𝑎
20 nfcv 2900 . . . . . . . . . 10 𝑎𝑗
21 eqid 2758 . . . . . . . . . 10 (rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω) = (rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)
22 eqidd 2759 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑗) → ∅ = ∅)
2319, 20, 19, 21, 22frsucmpt 7700 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ω ∧ ∅ ∈ V) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘suc 𝑗) = ∅)
2415, 23mpan2 709 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ω → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘suc 𝑗) = ∅)
25 fveq2 6350 . . . . . . . . 9 (𝑖 = suc 𝑗 → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘suc 𝑗))
2625eqeq1d 2760 . . . . . . . 8 (𝑖 = suc 𝑗 → (((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅ ↔ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘suc 𝑗) = ∅))
2724, 26syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ω → (𝑖 = suc 𝑗 → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅))
2827rexlimiv 3163 . . . . . 6 (∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = suc 𝑗 → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
2918, 28jaoi 393 . . . . 5 ((𝑖 = ∅ ∨ ∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = suc 𝑗) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
3013, 29syl 17 . . . 4 (𝑖 ∈ ω → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
3112, 30syl5eq 2804 . . 3 (𝑖 ∈ ω → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
3231iuneq2i 4689 . 2 𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) = 𝑖 ∈ ω ∅
33 iun0 4726 . 2 𝑖 ∈ ω ∅ = ∅
341, 32, 333eqtri 2784 1 TrPred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wo 382   = wceq 1630  wcel 2137  wrex 3049  Vcvv 3338  c0 4056   ciun 4670  cmpt 4879  cres 5266  Predcpred 5838  suc csuc 5884  cfv 6047  ωcom 7228  reccrdg 7672  TrPredctrpred 32020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-om 7229  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-trpred 32021
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator