Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpredss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trpredss 32965
Description: The transitive predecessors form a subset of the base class. (Contributed by Scott Fenton, 20-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
trpredss (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ 𝐵 → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem trpredss
Dummy variables 𝑎 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dftrpred2 32955 . 2 TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = 𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)
2 trpredlem1 32963 . . . 4 (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ 𝐵 → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) ⊆ 𝐴)
32ralrimivw 3180 . . 3 (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ 𝐵 → ∀𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) ⊆ 𝐴)
4 iunss 4960 . . 3 ( 𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) ⊆ 𝐴)
53, 4sylibr 235 . 2 (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ 𝐵 𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) ⊆ 𝐴)
61, 5eqsstrid 4012 1 (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ 𝐵 → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  wral 3135  Vcvv 3492  wss 3933   ciun 4910  cmpt 5137  cres 5550  Predcpred 6140  cfv 6348  ωcom 7569  reccrdg 8034  TrPredctrpred 32953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-trpred 32954
This theorem is referenced by:  trpredelss  32968  dftrpred3g  32969  frmin  32981  frr1  33041
  Copyright terms: Public domain W3C validator