Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpredtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trpredtr 30808
Description: The transitive predecessors are transitive in 𝑅 and 𝐴 (Contributed by Scott Fenton, 20-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
trpredtr ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))

Proof of Theorem trpredtr
Dummy variables 𝑎 𝑓 𝑖 𝑗 𝑡 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eltrpred 30804 . 2 (𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ ∃𝑖 ∈ ω 𝑌 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖))
2 simplr 787 . . . . . 6 ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑌 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)) → 𝑖 ∈ ω)
3 peano2 6956 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ω → suc 𝑖 ∈ ω)
42, 3syl 17 . . . . 5 ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑌 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)) → suc 𝑖 ∈ ω)
5 simpr 475 . . . . . . 7 ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑌 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)) → 𝑌 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖))
6 ssid 3586 . . . . . . 7 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌)
7 predeq3 5587 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑌 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡) = Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌))
87sseq2d 3595 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑌 → (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡) ↔ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌)))
98rspcev 3281 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌)) → ∃𝑡 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡))
10 ssiun 4492 . . . . . . . 8 (∃𝑡 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ 𝑡 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡))
119, 10syl 17 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ 𝑡 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡))
125, 6, 11sylancl 692 . . . . . 6 ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑌 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ 𝑡 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡))
13 fvex 6098 . . . . . . . 8 ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) ∈ V
14 setlikespec 5604 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ V)
15 trpredlem1 30805 . . . . . . . . . . . . 13 (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ V → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) ⊆ 𝐴)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) ⊆ 𝐴)
1716sseld 3566 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑡 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) → 𝑡𝐴))
18 setlikespec 5604 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑡𝐴𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡) ∈ V)
1918expcom 449 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 Se 𝐴 → (𝑡𝐴 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡) ∈ V))
2019adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑡𝐴 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡) ∈ V))
2117, 20syld 45 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑡 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡) ∈ V))
2221ralrimiv 2947 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑡 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡) ∈ V)
2322ad2antrr 757 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑌 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)) → ∀𝑡 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡) ∈ V)
24 iunexg 7013 . . . . . . . 8 ((((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) ∈ V ∧ ∀𝑡 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡) ∈ V) → 𝑡 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡) ∈ V)
2513, 23, 24sylancr 693 . . . . . . 7 ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑌 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)) → 𝑡 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡) ∈ V)
26 nfcv 2750 . . . . . . . 8 𝑓Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)
27 nfcv 2750 . . . . . . . 8 𝑓𝑖
28 nfcv 2750 . . . . . . . 8 𝑓 𝑡 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡)
29 predeq3 5587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑡 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) = Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡))
3029cbviunv 4489 . . . . . . . . . . 11 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) = 𝑡𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡)
31 iuneq1 4464 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑓 𝑡𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡) = 𝑡𝑓 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡))
3230, 31syl5eq 2655 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑓 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) = 𝑡𝑓 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡))
3332cbvmptv 4672 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) = (𝑓 ∈ V ↦ 𝑡𝑓 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡))
34 rdgeq1 7372 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) = (𝑓 ∈ V ↦ 𝑡𝑓 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡)) → rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) = rec((𝑓 ∈ V ↦ 𝑡𝑓 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
35 reseq1 5298 . . . . . . . . 9 (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) = rec((𝑓 ∈ V ↦ 𝑡𝑓 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω) = (rec((𝑓 ∈ V ↦ 𝑡𝑓 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω))
3633, 34, 35mp2b 10 . . . . . . . 8 (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω) = (rec((𝑓 ∈ V ↦ 𝑡𝑓 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)
37 iuneq1 4464 . . . . . . . 8 (𝑓 = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) → 𝑡𝑓 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡) = 𝑡 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡))
3826, 27, 28, 36, 37frsucmpt 7398 . . . . . . 7 ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑡 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡) ∈ V) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘suc 𝑖) = 𝑡 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡))
392, 25, 38syl2anc 690 . . . . . 6 ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑌 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘suc 𝑖) = 𝑡 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑡))
4012, 39sseqtr4d 3604 . . . . 5 ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑌 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘suc 𝑖))
41 fveq2 6088 . . . . . . . . 9 (𝑗 = suc 𝑖 → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑗) = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘suc 𝑖))
4241sseq2d 3595 . . . . . . . 8 (𝑗 = suc 𝑖 → (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑗) ↔ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘suc 𝑖)))
4342rspcev 3281 . . . . . . 7 ((suc 𝑖 ∈ ω ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘suc 𝑖)) → ∃𝑗 ∈ ω Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑗))
44 ssiun 4492 . . . . . . 7 (∃𝑗 ∈ ω Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑗) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ 𝑗 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑗))
4543, 44syl 17 . . . . . 6 ((suc 𝑖 ∈ ω ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘suc 𝑖)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ 𝑗 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑗))
46 dftrpred2 30797 . . . . . 6 TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = 𝑗 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑗)
4745, 46syl6sseqr 3614 . . . . 5 ((suc 𝑖 ∈ ω ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘suc 𝑖)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
484, 40, 47syl2anc 690 . . . 4 ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑌 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
4948ex 448 . . 3 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ ω) → (𝑌 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
5049rexlimdva 3012 . 2 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (∃𝑖 ∈ ω 𝑌 ∈ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
511, 50syl5bi 230 1 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  wrex 2896  Vcvv 3172  wss 3539   ciun 4449  cmpt 4637   Se wse 4985  cres 5030  Predcpred 5582  suc csuc 5628  cfv 5790  ωcom 6935  reccrdg 7370  TrPredctrpred 30795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-om 6936  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-trpred 30796
This theorem is referenced by:  trpredelss  30810  frmin  30817
  Copyright terms: Public domain W3C validator