Theorem tsk2 9771

Description: Two is an element of a nonempty Tarski class. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
tsk2	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 2𝑜 ∈ 𝑇)

Proof of Theorem tsk2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsk1 9770	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 1𝑜 ∈ 𝑇)
2		df-2o 7722	. . 3 ⊢ 2𝑜 = suc 1𝑜
3		1on 7728	. . . 4 ⊢ 1𝑜 ∈ On
4		tsksuc 9768	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 1𝑜 ∈ On ∧ 1𝑜 ∈ 𝑇) → suc 1𝑜 ∈ 𝑇)
5	3, 4	mp3an2 1553	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 1𝑜 ∈ 𝑇) → suc 1𝑜 ∈ 𝑇)
6	2, 5	syl5eqel 2835	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 1𝑜 ∈ 𝑇) → 2𝑜 ∈ 𝑇)
7	1, 6	syldan 488	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 2𝑜 ∈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2131   ≠ wne 2924  ∅c0 4050  Oncon0 5876  suc csuc 5878  1_𝑜c1o 7714  2_𝑜c2o 7715  Tarskictsk 9754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-tr 4897  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-ord 5879  df-on 5880  df-suc 5882  df-1o 7721  df-2o 7722  df-tsk 9755

This theorem is referenced by:  2domtsk  9772