MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tskwe2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tskwe2 9592
Description: A Tarski class is well-orderable. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tskwe2 (𝑇 ∈ Tarski → 𝑇 ∈ dom card)

Proof of Theorem tskwe2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 4166 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑇𝑦𝑇)
2 tskssel 9576 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑦𝑇𝑦𝑇) → 𝑦𝑇)
323exp 1263 . . . . 5 (𝑇 ∈ Tarski → (𝑦𝑇 → (𝑦𝑇𝑦𝑇)))
41, 3syl5 34 . . . 4 (𝑇 ∈ Tarski → (𝑦 ∈ 𝒫 𝑇 → (𝑦𝑇𝑦𝑇)))
54ralrimiv 2964 . . 3 (𝑇 ∈ Tarski → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑇(𝑦𝑇𝑦𝑇))
6 rabss 3677 . . 3 ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑇𝑦𝑇} ⊆ 𝑇 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑇(𝑦𝑇𝑦𝑇))
75, 6sylibr 224 . 2 (𝑇 ∈ Tarski → {𝑦 ∈ 𝒫 𝑇𝑦𝑇} ⊆ 𝑇)
8 tskwe 8773 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑇𝑦𝑇} ⊆ 𝑇) → 𝑇 ∈ dom card)
97, 8mpdan 702 1 (𝑇 ∈ Tarski → 𝑇 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1989  wral 2911  {crab 2915  wss 3572  𝒫 cpw 4156   class class class wbr 4651  dom cdm 5112  csdm 7951  cardccrd 8758  Tarskictsk 9567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-ord 5724  df-on 5725  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-card 8762  df-tsk 9568
This theorem is referenced by:  tskurn  9608  inaprc  9655
  Copyright terms: Public domain W3C validator