Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsadd Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The sum of two infinite group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsadd.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
tsmsadd.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))
Assertion
Ref Expression
tsmsadd (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹𝑓 + 𝐻)))

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsadd.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 tsmsadd.1 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
3 tsmsadd.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ TopMnd)
4 tmdtps 21803 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopSp)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
6 tsmsadd.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
7 tsmsadd.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
81, 2, 5, 6, 7tsmscl 21861 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐵)
9 tsmsadd.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
108, 9sseldd 3588 . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
11 tsmsadd.h . . . . . 6 (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
121, 2, 5, 6, 11tsmscl 21861 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐻) ⊆ 𝐵)
13 tsmsadd.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))
1412, 13sseldd 3588 . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
15 tsmsadd.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
16 eqid 2621 . . . . 5 (+𝑓𝐺) = (+𝑓𝐺)
171, 15, 16plusfval 17180 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(+𝑓𝐺)𝑌) = (𝑋 + 𝑌))
1810, 14, 17syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝑋(+𝑓𝐺)𝑌) = (𝑋 + 𝑌))
19 eqid 2621 . . . . . 6 (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
201, 19istps 20662 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵))
215, 20sylib 208 . . . 4 (𝜑 → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵))
22 eqid 2621 . . . . . 6 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
23 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})
24 eqid 2621 . . . . . 6 ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})
2522, 23, 24, 6tsmsfbas 21854 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
26 fgcl 21605 . . . . 5 (ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
2725, 26syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
281, 22, 2, 6, 7tsmslem1 21855 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝐵)
291, 22, 2, 6, 11tsmslem1 21855 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐻𝑧)) ∈ 𝐵)
301, 19, 22, 24, 2, 6, 7tsmsval 21857 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))))
319, 30eleqtrd 2700 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))))
321, 19, 22, 24, 2, 6, 11tsmsval 21857 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐻) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐻𝑧)))))
3313, 32eleqtrd 2700 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐻𝑧)))))
3419, 16tmdcn 21810 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopMnd → (+𝑓𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
353, 34syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (+𝑓𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
36 opelxpi 5113 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
3710, 14, 36syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
38 txtopon 21317 . . . . . . . 8 (((TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵)) → ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)))
3921, 21, 38syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)))
40 toponuni 20651 . . . . . . 7 (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)) → (𝐵 × 𝐵) = ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)))
4139, 40syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)))
4237, 41eleqtrd 2700 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)))
43 eqid 2621 . . . . . 6 ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) = ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺))
4443cncnpi 21005 . . . . 5 (((+𝑓𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺))) → (+𝑓𝐺) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) CnP (TopOpen‘𝐺))‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
4535, 42, 44syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (+𝑓𝐺) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) CnP (TopOpen‘𝐺))‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
4621, 21, 27, 28, 29, 31, 33, 45flfcnp2 21734 . . 3 (𝜑 → (𝑋(+𝑓𝐺)𝑌) ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹𝑧))(+𝑓𝐺)(𝐺 Σg (𝐻𝑧))))))
4718, 46eqeltrrd 2699 . 2 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹𝑧))(+𝑓𝐺)(𝐺 Σg (𝐻𝑧))))))
48 cmnmnd 18140 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
492, 48syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
501, 15mndcl 17233 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
51503expb 1263 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
5249, 51sylan 488 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
53 inidm 3805 . . . . 5 (𝐴𝐴) = 𝐴
5452, 7, 11, 6, 6, 53off 6872 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐻):𝐴𝐵)
551, 19, 22, 24, 2, 6, 54tsmsval 21857 . . 3 (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹𝑓 + 𝐻)) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg ((𝐹𝑓 + 𝐻) ↾ 𝑧)))))
56 eqid 2621 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
572adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
58 elfpw 8220 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑧𝐴𝑧 ∈ Fin))
5958simprbi 480 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
6059adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
6158simplbi 476 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧𝐴)
62 fssres 6032 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴𝐵𝑧𝐴) → (𝐹𝑧):𝑧𝐵)
637, 61, 62syl2an 494 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑧):𝑧𝐵)
64 fssres 6032 . . . . . . . 8 ((𝐻:𝐴𝐵𝑧𝐴) → (𝐻𝑧):𝑧𝐵)
6511, 61, 64syl2an 494 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻𝑧):𝑧𝐵)
66 fvex 6163 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) ∈ V
6766a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (0g𝐺) ∈ V)
6863, 60, 67fdmfifsupp 8237 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑧) finSupp (0g𝐺))
6965, 60, 67fdmfifsupp 8237 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻𝑧) finSupp (0g𝐺))
701, 56, 15, 57, 60, 63, 65, 68, 69gsumadd 18255 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg ((𝐹𝑧) ∘𝑓 + (𝐻𝑧))) = ((𝐺 Σg (𝐹𝑧)) + (𝐺 Σg (𝐻𝑧))))
71 fvex 6163 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝐺) ∈ V
721, 71eqeltri 2694 . . . . . . . . . . 11 𝐵 ∈ V
7372a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ V)
74 fex2 7075 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴𝑉𝐵 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
757, 6, 73, 74syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ V)
76 fex2 7075 . . . . . . . . . 10 ((𝐻:𝐴𝐵𝐴𝑉𝐵 ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
7711, 6, 73, 76syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ∈ V)
78 offres 7115 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → ((𝐹𝑓 + 𝐻) ↾ 𝑧) = ((𝐹𝑧) ∘𝑓 + (𝐻𝑧)))
7975, 77, 78syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑓 + 𝐻) ↾ 𝑧) = ((𝐹𝑧) ∘𝑓 + (𝐻𝑧)))
8079adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹𝑓 + 𝐻) ↾ 𝑧) = ((𝐹𝑧) ∘𝑓 + (𝐻𝑧)))
8180oveq2d 6626 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg ((𝐹𝑓 + 𝐻) ↾ 𝑧)) = (𝐺 Σg ((𝐹𝑧) ∘𝑓 + (𝐻𝑧))))
821, 15, 16plusfval 17180 . . . . . . 7 (((𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺 Σg (𝐻𝑧)) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑧))(+𝑓𝐺)(𝐺 Σg (𝐻𝑧))) = ((𝐺 Σg (𝐹𝑧)) + (𝐺 Σg (𝐻𝑧))))
8328, 29, 82syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑧))(+𝑓𝐺)(𝐺 Σg (𝐻𝑧))) = ((𝐺 Σg (𝐹𝑧)) + (𝐺 Σg (𝐻𝑧))))
8470, 81, 833eqtr4d 2665 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg ((𝐹𝑓 + 𝐻) ↾ 𝑧)) = ((𝐺 Σg (𝐹𝑧))(+𝑓𝐺)(𝐺 Σg (𝐻𝑧))))
8584mpteq2dva 4709 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg ((𝐹𝑓 + 𝐻) ↾ 𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹𝑧))(+𝑓𝐺)(𝐺 Σg (𝐻𝑧)))))
8685fveq2d 6157 . . 3 (𝜑 → (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg ((𝐹𝑓 + 𝐻) ↾ 𝑧)))) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹𝑧))(+𝑓𝐺)(𝐺 Σg (𝐻𝑧))))))
8755, 86eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹𝑓 + 𝐻)) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹𝑧))(+𝑓𝐺)(𝐺 Σg (𝐻𝑧))))))
8847, 87eleqtrrd 2701 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹𝑓 + 𝐻)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  {crab 2911  Vcvv 3189   ∩ cin 3558   ⊆ wss 3559  𝒫 cpw 4135  ⟨cop 4159  ∪ cuni 4407   ↦ cmpt 4678   × cxp 5077  ran crn 5080   ↾ cres 5081  ⟶wf 5848  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610   ∘𝑓 cof 6855  Fincfn 7907  Basecbs 15792  +gcplusg 15873  TopOpenctopn 16014  0gc0g 16032   Σg cgsu 16033  +𝑓cplusf 17171  Mndcmnd 17226  CMndccmn 18125  fBascfbas 19666  filGencfg 19667  TopOnctopon 20647  TopSpctps 20660   Cn ccn 20951   CnP ccnp 20952   ×t ctx 21286  Filcfil 21572   fLimf cflf 21662  TopMndctmd 21797   tsums ctsu 21852 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-hash 13066  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-topgen 16036  df-plusf 17173  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-fbas 19675  df-fg 19676  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-ntr 20747  df-nei 20825  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-tx 21288  df-fil 21573  df-fm 21665  df-flim 21666  df-flf 21667  df-tmd 21799  df-tsms 21853 This theorem is referenced by:  tsmssub  21875  tsmssplit  21878  esumadd  29924  esumaddf  29928
 Copyright terms: Public domain W3C validator