MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmsf1o 21858
Description: Re-index an infinite group sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsf1o.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsf1o.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmsf1o.2 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
tsmsf1o.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmsf1o.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
tsmsf1o.s (𝜑𝐻:𝐶1-1-onto𝐴)
Assertion
Ref Expression
tsmsf1o (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = (𝐺 tsums (𝐹𝐻)))

Proof of Theorem tsmsf1o
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑢 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsf1o.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻:𝐶1-1-onto𝐴)
2 f1opwfi 8214 . . . . . . . . . . 11 (𝐻:𝐶1-1-onto𝐴 → (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎)):(𝒫 𝐶 ∩ Fin)–1-1-onto→(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
31, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎)):(𝒫 𝐶 ∩ Fin)–1-1-onto→(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
4 f1of 6094 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎)):(𝒫 𝐶 ∩ Fin)–1-1-onto→(𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎)):(𝒫 𝐶 ∩ Fin)⟶(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
53, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎)):(𝒫 𝐶 ∩ Fin)⟶(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
6 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎)) = (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎))
76fmpt 6337 . . . . . . . . 9 (∀𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)(𝐻𝑎) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎)):(𝒫 𝐶 ∩ Fin)⟶(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
85, 7sylibr 224 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)(𝐻𝑎) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
9 sseq1 3605 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐻𝑎) → (𝑦𝑧 ↔ (𝐻𝑎) ⊆ 𝑧))
109imbi1d 331 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐻𝑎) → ((𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ ((𝐻𝑎) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))
1110ralbidv 2980 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐻𝑎) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻𝑎) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))
126, 11rexrnmpt 6325 . . . . . . . 8 (∀𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)(𝐻𝑎) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (∃𝑦 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎))∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻𝑎) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))
138, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎))∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻𝑎) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))
14 f1ofo 6101 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎)):(𝒫 𝐶 ∩ Fin)–1-1-onto→(𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎)):(𝒫 𝐶 ∩ Fin)–onto→(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
15 forn 6075 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎)):(𝒫 𝐶 ∩ Fin)–onto→(𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎)) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
163, 14, 153syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎)) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
1716rexeqdv 3134 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎))∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))
18 imaeq2 5421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑏 → (𝐻𝑎) = (𝐻𝑏))
1918cbvmptv 4710 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎)) = (𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑏))
2019fmpt 6337 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)(𝐻𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎)):(𝒫 𝐶 ∩ Fin)⟶(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
215, 20sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)(𝐻𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
22 sseq2 3606 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝐻𝑏) → ((𝐻𝑎) ⊆ 𝑧 ↔ (𝐻𝑎) ⊆ (𝐻𝑏)))
23 reseq2 5351 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝐻𝑏) → (𝐹𝑧) = (𝐹 ↾ (𝐻𝑏)))
2423oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝐻𝑏) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐻𝑏))))
2524eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝐻𝑏) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐻𝑏))) ∈ 𝑢))
2622, 25imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝐻𝑏) → (((𝐻𝑎) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ ((𝐻𝑎) ⊆ (𝐻𝑏) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐻𝑏))) ∈ 𝑢)))
2719, 26ralrnmpt 6324 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)(𝐻𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎))((𝐻𝑎) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)((𝐻𝑎) ⊆ (𝐻𝑏) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐻𝑏))) ∈ 𝑢)))
2821, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎))((𝐻𝑎) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)((𝐻𝑎) ⊆ (𝐻𝑏) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐻𝑏))) ∈ 𝑢)))
2916raleqdv 3133 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎))((𝐻𝑎) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻𝑎) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))
3028, 29bitr3d 270 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∀𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)((𝐻𝑎) ⊆ (𝐻𝑏) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐻𝑏))) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻𝑎) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))
3130adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (∀𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)((𝐻𝑎) ⊆ (𝐻𝑏) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐻𝑏))) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻𝑎) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))
32 f1of1 6093 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻:𝐶1-1-onto𝐴𝐻:𝐶1-1𝐴)
331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐻:𝐶1-1𝐴)
3433ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → 𝐻:𝐶1-1𝐴)
35 elfpw 8212 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↔ (𝑎𝐶𝑎 ∈ Fin))
3635simplbi 476 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) → 𝑎𝐶)
3736ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → 𝑎𝐶)
38 elfpw 8212 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↔ (𝑏𝐶𝑏 ∈ Fin))
3938simplbi 476 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) → 𝑏𝐶)
4039adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → 𝑏𝐶)
41 f1imass 6475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻:𝐶1-1𝐴 ∧ (𝑎𝐶𝑏𝐶)) → ((𝐻𝑎) ⊆ (𝐻𝑏) ↔ 𝑎𝑏))
4234, 37, 40, 41syl12anc 1321 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → ((𝐻𝑎) ⊆ (𝐻𝑏) ↔ 𝑎𝑏))
43 tsmsf1o.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = (Base‘𝐺)
44 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g𝐺) = (0g𝐺)
45 tsmsf1o.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4645ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
4738simprbi 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) → 𝑏 ∈ Fin)
4847adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ Fin)
49 f1ores 6108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐻:𝐶1-1𝐴𝑏𝐶) → (𝐻𝑏):𝑏1-1-onto→(𝐻𝑏))
5034, 40, 49syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (𝐻𝑏):𝑏1-1-onto→(𝐻𝑏))
51 f1ofo 6101 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐻𝑏):𝑏1-1-onto→(𝐻𝑏) → (𝐻𝑏):𝑏onto→(𝐻𝑏))
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (𝐻𝑏):𝑏onto→(𝐻𝑏))
53 fofi 8196 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ Fin ∧ (𝐻𝑏):𝑏onto→(𝐻𝑏)) → (𝐻𝑏) ∈ Fin)
5448, 52, 53syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (𝐻𝑏) ∈ Fin)
55 tsmsf1o.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
5655ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → 𝐹:𝐴𝐵)
57 imassrn 5436 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻𝑏) ⊆ ran 𝐻
581ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → 𝐻:𝐶1-1-onto𝐴)
59 f1ofo 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐻:𝐶1-1-onto𝐴𝐻:𝐶onto𝐴)
60 forn 6075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐻:𝐶onto𝐴 → ran 𝐻 = 𝐴)
6158, 59, 603syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → ran 𝐻 = 𝐴)
6257, 61syl5sseq 3632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (𝐻𝑏) ⊆ 𝐴)
6356, 62fssresd 6028 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ (𝐻𝑏)):(𝐻𝑏)⟶𝐵)
64 fvex 6158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝐺) ∈ V
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (0g𝐺) ∈ V)
6663, 54, 65fdmfifsupp 8229 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ (𝐻𝑏)) finSupp (0g𝐺))
6743, 44, 46, 54, 63, 66, 50gsumf1o 18238 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐻𝑏))) = (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ (𝐻𝑏)) ∘ (𝐻𝑏))))
68 df-ima 5087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐻𝑏) = ran (𝐻𝑏)
6968eqimss2i 3639 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran (𝐻𝑏) ⊆ (𝐻𝑏)
70 cores 5597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ran (𝐻𝑏) ⊆ (𝐻𝑏) → ((𝐹 ↾ (𝐻𝑏)) ∘ (𝐻𝑏)) = (𝐹 ∘ (𝐻𝑏)))
7169, 70ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ↾ (𝐻𝑏)) ∘ (𝐻𝑏)) = (𝐹 ∘ (𝐻𝑏))
72 resco 5598 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝐻) ↾ 𝑏) = (𝐹 ∘ (𝐻𝑏))
7371, 72eqtr4i 2646 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ↾ (𝐻𝑏)) ∘ (𝐻𝑏)) = ((𝐹𝐻) ↾ 𝑏)
7473oveq2i 6615 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ (𝐻𝑏)) ∘ (𝐻𝑏))) = (𝐺 Σg ((𝐹𝐻) ↾ 𝑏))
7567, 74syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐻𝑏))) = (𝐺 Σg ((𝐹𝐻) ↾ 𝑏)))
7675eleq1d 2683 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐻𝑏))) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg ((𝐹𝐻) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢))
7742, 76imbi12d 334 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (((𝐻𝑎) ⊆ (𝐻𝑏) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐻𝑏))) ∈ 𝑢) ↔ (𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝐻) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))
7877ralbidva 2979 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (∀𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)((𝐻𝑎) ⊆ (𝐻𝑏) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐻𝑏))) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝐻) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))
7931, 78bitr3d 270 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻𝑎) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝐻) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))
8079rexbidva 3042 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻𝑎) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝐻) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))
8113, 17, 803bitr3d 298 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝐻) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))
8281imbi2d 330 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑥𝑢 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝐻) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢))))
8382ralbidv 2980 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝐻) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢))))
8483anbi2d 739 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢))) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝐻) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))))
85 eqid 2621 . . . 4 (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
86 eqid 2621 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
87 tsmsf1o.2 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
88 tsmsf1o.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
8943, 85, 86, 45, 87, 88, 55eltsms 21846 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))))
90 eqid 2621 . . . 4 (𝒫 𝐶 ∩ Fin) = (𝒫 𝐶 ∩ Fin)
91 f1dmex 7083 . . . . 5 ((𝐻:𝐶1-1𝐴𝐴𝑉) → 𝐶 ∈ V)
9233, 88, 91syl2anc 692 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ V)
93 f1of 6094 . . . . . 6 (𝐻:𝐶1-1-onto𝐴𝐻:𝐶𝐴)
941, 93syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐻:𝐶𝐴)
95 fco 6015 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝐵𝐻:𝐶𝐴) → (𝐹𝐻):𝐶𝐵)
9655, 94, 95syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐻):𝐶𝐵)
9743, 85, 90, 45, 87, 92, 96eltsms 21846 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums (𝐹𝐻)) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝐻) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))))
9884, 89, 973bitr4d 300 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums (𝐹𝐻))))
9998eqrdv 2619 1 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = (𝐺 tsums (𝐹𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186  cin 3554  wss 3555  𝒫 cpw 4130  cmpt 4673  ran crn 5075  cres 5076  cima 5077  ccom 5078  wf 5843  1-1wf1 5844  ontowfo 5845  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  Basecbs 15781  TopOpenctopn 16003  0gc0g 16021   Σg cgsu 16022  CMndccmn 18114  TopSpctps 20619   tsums ctsu 21839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-hash 13058  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-top 20621  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-ntr 20734  df-nei 20812  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-tsms 21840
This theorem is referenced by:  esumf1o  29890
  Copyright terms: Public domain W3C validator