Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmslem1 21979
 Description: The finite partial sums of a function 𝐹 are defined in a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmslem1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmslem1.s 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
tsmslem1.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmslem1.a (𝜑𝐴𝑊)
tsmslem1.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
tsmslem1 ((𝜑𝑋𝑆) → (𝐺 Σg (𝐹𝑋)) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem tsmslem1
StepHypRef Expression
1 tsmslem1.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2651 . 2 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 tsmslem1.1 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
43adantr 480 . 2 ((𝜑𝑋𝑆) → 𝐺 ∈ CMnd)
5 simpr 476 . 2 ((𝜑𝑋𝑆) → 𝑋𝑆)
6 tsmslem1.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
76adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋𝑆) → 𝐹:𝐴𝐵)
8 tsmslem1.s . . . . 5 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
95, 8syl6eleq 2740 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑆) → 𝑋 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
10 elfpw 8309 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑋𝐴𝑋 ∈ Fin))
1110simplbi 475 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑋𝐴)
129, 11syl 17 . . 3 ((𝜑𝑋𝑆) → 𝑋𝐴)
137, 12fssresd 6109 . 2 ((𝜑𝑋𝑆) → (𝐹𝑋):𝑋𝐵)
1410simprbi 479 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑋 ∈ Fin)
159, 14syl 17 . . 3 ((𝜑𝑋𝑆) → 𝑋 ∈ Fin)
16 fvexd 6241 . . 3 ((𝜑𝑋𝑆) → (0g𝐺) ∈ V)
1713, 15, 16fdmfifsupp 8326 . 2 ((𝜑𝑋𝑆) → (𝐹𝑋) finSupp (0g𝐺))
181, 2, 4, 5, 13, 17gsumcl 18362 1 ((𝜑𝑋𝑆) → (𝐺 Σg (𝐹𝑋)) ∈ 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  𝒫 cpw 4191   ↾ cres 5145  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  Basecbs 15904  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  CMndccmn 18239 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-cntz 17796  df-cmn 18241 This theorem is referenced by:  eltsms  21983  haustsms  21986  tsmscls  21988  tsmsmhm  21996  tsmsadd  21997
 Copyright terms: Public domain W3C validator