MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmssub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmssub 21892
Description: The difference of two infinite group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmssub.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmssub.p = (-g𝐺)
tsmssub.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmssub.2 (𝜑𝐺 ∈ TopGrp)
tsmssub.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmssub.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
tsmssub.h (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
tsmssub.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
tsmssub.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))
Assertion
Ref Expression
tsmssub (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹𝑓 𝐻)))

Proof of Theorem tsmssub
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmssub.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2621 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 tsmssub.1 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 tsmssub.2 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TopGrp)
5 tgptmd 21823 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TopMnd)
7 tsmssub.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
8 tsmssub.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
9 tgpgrp 21822 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
10 eqid 2621 . . . . . 6 (invg𝐺) = (invg𝐺)
111, 10grpinvf 17406 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (invg𝐺):𝐵𝐵)
124, 9, 113syl 18 . . . 4 (𝜑 → (invg𝐺):𝐵𝐵)
13 tsmssub.h . . . 4 (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
14 fco 6025 . . . 4 (((invg𝐺):𝐵𝐵𝐻:𝐴𝐵) → ((invg𝐺) ∘ 𝐻):𝐴𝐵)
1512, 13, 14syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → ((invg𝐺) ∘ 𝐻):𝐴𝐵)
16 tsmssub.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
17 tsmssub.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))
181, 10, 3, 4, 7, 13, 17tsmsinv 21891 . . 3 (𝜑 → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ (𝐺 tsums ((invg𝐺) ∘ 𝐻)))
191, 2, 3, 6, 7, 8, 15, 16, 18tsmsadd 21890 . 2 (𝜑 → (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)) ∈ (𝐺 tsums (𝐹𝑓 (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻))))
20 tgptps 21824 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopSp)
214, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
221, 3, 21, 7, 8tsmscl 21878 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐵)
2322, 16sseldd 3589 . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
241, 3, 21, 7, 13tsmscl 21878 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐻) ⊆ 𝐵)
2524, 17sseldd 3589 . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
26 tsmssub.p . . . 4 = (-g𝐺)
271, 2, 10, 26grpsubval 17405 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
2823, 25, 27syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
298ffvelrnda 6325 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
3013ffvelrnda 6325 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐻𝑘) ∈ 𝐵)
311, 2, 10, 26grpsubval 17405 . . . . . 6 (((𝐹𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝐻𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘)) = ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘))))
3229, 30, 31syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘)) = ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘))))
3332mpteq2dva 4714 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘))) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)))))
348feqmptd 6216 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
3513feqmptd 6216 . . . . 5 (𝜑𝐻 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐻𝑘)))
367, 29, 30, 34, 35offval2 6879 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑓 𝐻) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘))))
37 fvexd 6170 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)) ∈ V)
3812feqmptd 6216 . . . . . 6 (𝜑 → (invg𝐺) = (𝑥𝐵 ↦ ((invg𝐺)‘𝑥)))
39 fveq2 6158 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐻𝑘) → ((invg𝐺)‘𝑥) = ((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)))
4030, 35, 38, 39fmptco 6362 . . . . 5 (𝜑 → ((invg𝐺) ∘ 𝐻) = (𝑘𝐴 ↦ ((invg𝐺)‘(𝐻𝑘))))
417, 29, 37, 34, 40offval2 6879 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑓 (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻)) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)))))
4233, 36, 413eqtr4d 2665 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑓 𝐻) = (𝐹𝑓 (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻)))
4342oveq2d 6631 . 2 (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹𝑓 𝐻)) = (𝐺 tsums (𝐹𝑓 (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻))))
4419, 28, 433eltr4d 2713 1 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹𝑓 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3190  cmpt 4683  ccom 5088  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  𝑓 cof 6860  Basecbs 15800  +gcplusg 15881  Grpcgrp 17362  invgcminusg 17363  -gcsg 17364  CMndccmn 18133  TopSpctps 20676  TopMndctmd 21814  TopGrpctgp 21815   tsums ctsu 21869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-hash 13074  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-plusf 17181  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-mhm 17275  df-submnd 17276  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-ghm 17598  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-abl 18136  df-fbas 19683  df-fg 19684  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-ntr 20764  df-nei 20842  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-tx 21305  df-fil 21590  df-fm 21682  df-flim 21683  df-flf 21684  df-tmd 21816  df-tgp 21817  df-tsms 21870
This theorem is referenced by:  tgptsmscls  21893
  Copyright terms: Public domain W3C validator