MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmssubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmssubm 22678
Description: Evaluate an infinite group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmssubm.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmssubm.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmssubm.2 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
tsmssubm.s (𝜑𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
tsmssubm.f (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
tsmssubm.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
tsmssubm (𝜑 → (𝐻 tsums 𝐹) = ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆))

Proof of Theorem tsmssubm
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmssubm.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
2 tsmssubm.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
32submbas 17967 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 = (Base‘𝐻))
54eleq2d 2895 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑆𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
65anbi1d 629 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑆 ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣))) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣)))))
7 elin 4166 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ 𝑥𝑆))
87biancomi 463 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆) ↔ (𝑥𝑆𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)))
9 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
109submss 17962 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
111, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
1211sselda 3964 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
13 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
14 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
15 tsmssubm.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
16 tsmssubm.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
17 tsmssubm.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑉)
18 tsmssubm.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
1918, 11fssd 6521 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐴⟶(Base‘𝐺))
209, 13, 14, 15, 16, 17, 19eltsms 22668 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))))
2120baibd 540 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
2212, 21syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
23 vex 3495 . . . . . . . . 9 𝑢 ∈ V
2423inex1 5212 . . . . . . . 8 (𝑢𝑆) ∈ V
2524a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)) → (𝑢𝑆) ∈ V)
262, 13resstopn 21722 . . . . . . . . 9 ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) = (TopOpen‘𝐻)
2726eleq2i 2901 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ↔ 𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻))
28 fvex 6676 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘𝐺) ∈ V
29 elrest 16689 . . . . . . . . . 10 (((TopOpen‘𝐺) ∈ V ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑣 ∈ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ↔ ∃𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)𝑣 = (𝑢𝑆)))
3028, 1, 29sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑣 ∈ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ↔ ∃𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)𝑣 = (𝑢𝑆)))
3130adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑣 ∈ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ↔ ∃𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)𝑣 = (𝑢𝑆)))
3227, 31syl5bbr 286 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻) ↔ ∃𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)𝑣 = (𝑢𝑆)))
33 eleq2 2898 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝑢𝑆) → (𝑥𝑣𝑥 ∈ (𝑢𝑆)))
34 elin 4166 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝑢𝑆) ↔ (𝑥𝑢𝑥𝑆))
3534rbaib 539 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑆 → (𝑥 ∈ (𝑢𝑆) ↔ 𝑥𝑢))
3635adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑢𝑆) ↔ 𝑥𝑢))
3733, 36sylan9bbr 511 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢𝑆)) → (𝑥𝑣𝑥𝑢))
38 eleq2 2898 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = (𝑢𝑆) → ((𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣 ↔ (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑢𝑆)))
39 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
40 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0g𝐻) = (0g𝐻)
412submmnd 17966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐻 ∈ Mnd)
421, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐻 ∈ Mnd)
432subcmn 18886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐻 ∈ CMnd)
4415, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐻 ∈ CMnd)
4544ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐻 ∈ CMnd)
46 elinel2 4170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
4746adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
4818ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹:𝐴𝑆)
49 elfpw 8814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦𝐴𝑦 ∈ Fin))
5049simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦𝐴)
5150adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦𝐴)
5248, 51fssresd 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑦):𝑦𝑆)
534ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
5453feq3d 6494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹𝑦):𝑦𝑆 ↔ (𝐹𝑦):𝑦⟶(Base‘𝐻)))
5552, 54mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑦):𝑦⟶(Base‘𝐻))
56 fvex 6676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0g𝐻) ∈ V
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (0g𝐻) ∈ V)
5852, 47, 57fdmfifsupp 8831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑦) finSupp (0g𝐻))
5939, 40, 45, 47, 55, 58gsumcl 18964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (Base‘𝐻))
6059, 53eleqtrrd 2913 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑆)
61 elin 4166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑢𝑆) ↔ ((𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢 ∧ (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑆))
6261rbaib 539 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑆 → ((𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑢𝑆) ↔ (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))
6360, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑢𝑆) ↔ (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))
641ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
6547, 64, 52, 2gsumsubm 17987 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) = (𝐻 Σg (𝐹𝑦)))
6665eleq1d 2894 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))
6763, 66bitr4d 283 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑢𝑆) ↔ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))
6838, 67sylan9bbr 511 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑣 = (𝑢𝑆)) → ((𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣 ↔ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))
6968an32s 648 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣 ↔ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))
7069imbi2d 342 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝑧𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣) ↔ (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))
7170ralbidva 3193 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢𝑆)) → (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))
7271rexbidv 3294 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢𝑆)) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))
7337, 72imbi12d 346 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑣 = (𝑢𝑆)) → ((𝑥𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣)) ↔ (𝑥𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
7425, 32, 73ralxfr2d 5301 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → (∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣)) ↔ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
7522, 74bitr4d 283 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣))))
7675pm5.32da 579 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑆𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ↔ (𝑥𝑆 ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣)))))
778, 76syl5bb 284 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆) ↔ (𝑥𝑆 ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣)))))
78 eqid 2818 . . . 4 (TopOpen‘𝐻) = (TopOpen‘𝐻)
79 resstps 21723 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐺s 𝑆) ∈ TopSp)
8016, 1, 79syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺s 𝑆) ∈ TopSp)
812, 80eqeltrid 2914 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ TopSp)
824feq3d 6494 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹:𝐴𝑆𝐹:𝐴⟶(Base‘𝐻)))
8318, 82mpbid 233 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶(Base‘𝐻))
8439, 78, 14, 44, 81, 17, 83eltsms 22668 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐻 tsums 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑣 ∈ (TopOpen‘𝐻)(𝑥𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐻 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣)))))
856, 77, 843bitr4rd 313 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐻 tsums 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆)))
8685eqrdv 2816 1 (𝜑 → (𝐻 tsums 𝐹) = ((𝐺 tsums 𝐹) ∩ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492  cin 3932  wss 3933  𝒫 cpw 4535  cres 5550  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  Fincfn 8497  Basecbs 16471  s cress 16472  t crest 16682  TopOpenctopn 16683  0gc0g 16701   Σg cgsu 16702  Mndcmnd 17899  SubMndcsubmnd 17943  CMndccmn 18835  TopSpctps 21468   tsums ctsu 22661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-hash 13679  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-tset 16572  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-ntr 21556  df-nei 21634  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-tsms 22662
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator