Theorem ttgbtwnid 26669

Description: Any subcomplex module equipped with the betweenness operation fulfills the identity of betweenness (Axiom A6). (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ttgval.n	⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻)
ttgitvval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ttgitvval.b	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐻)
ttgitvval.m	⊢ − = (-g‘𝐻)
ttgitvval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐻)
ttgelitv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
ttgelitv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
ttgbtwnid.r	⊢ 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝐻))
ttgbtwnid.2	⊢ (𝜑 → (0[,]1) ⊆ 𝑅)
ttgbtwnid.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂMod)
ttgbtwnid.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑋))

Assertion

Ref	Expression
ttgbtwnid	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem ttgbtwnid

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 765	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → 𝜑)
2		simpr 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋)))
3		ttgbtwnid.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂMod)
4		clmlmod 23670	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ ℂMod → 𝐻 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ LMod)
6		ttgelitv.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
7		ttgitvval.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐻)
8		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
9		ttgitvval.m	. . . . . . . . 9 ⊢ − = (-g‘𝐻)
10	7, 8, 9	lmodsubid 19693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → (𝑋 − 𝑋) = (0g‘𝐻))
11	5, 6, 10	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑋) = (0g‘𝐻))
12	11	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → (𝑋 − 𝑋) = (0g‘𝐻))
13	12	oveq2d 7171	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → (𝑘 · (𝑋 − 𝑋)) = (𝑘 · (0g‘𝐻)))
14	5	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → 𝐻 ∈ LMod)
15		ttgbtwnid.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0[,]1) ⊆ 𝑅)
16	15	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → (0[,]1) ⊆ 𝑅)
17		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → 𝑘 ∈ (0[,]1))
18	16, 17	sseldd 3967	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → 𝑘 ∈ 𝑅)
19		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝐻) = (Scalar‘𝐻)
20		ttgitvval.s	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐻)
21		ttgbtwnid.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝐻))
22	19, 20, 21, 8	lmodvs0 19667	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (𝑘 · (0g‘𝐻)) = (0g‘𝐻))
23	14, 18, 22	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → (𝑘 · (0g‘𝐻)) = (0g‘𝐻))
24	2, 13, 23	3eqtrd 2860	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → (𝑌 − 𝑋) = (0g‘𝐻))
25		ttgelitv.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
26	7, 8, 9	lmodsubeq0 19692	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → ((𝑌 − 𝑋) = (0g‘𝐻) ↔ 𝑌 = 𝑋))
27	5, 25, 6, 26	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑋) = (0g‘𝐻) ↔ 𝑌 = 𝑋))
28	27	biimpa 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 − 𝑋) = (0g‘𝐻)) → 𝑌 = 𝑋)
29	1, 24, 28	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → 𝑌 = 𝑋)
30	29	eqcomd 2827	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))) → 𝑋 = 𝑌)
31		ttgbtwnid.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑋))
32		ttgval.n	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻)
33		ttgitvval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
34	32, 33, 7, 9, 20, 6, 6, 3, 25	ttgelitv 26668	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑋) ↔ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋))))
35	31, 34	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑌 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑋 − 𝑋)))
36	30, 35	r19.29a 3289	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3139   ⊆ wss 3935  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  0cc0 10536  1c1 10537  [,]cicc 12740  Basecbs 16482  Scalarcsca 16567   ·_𝑠 cvsca 16568  0_gc0g 16712  -_gcsg 18104  LModclmod 19633  ℂModcclm 23665  Itvcitv 26221  toTGcttg 26658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-dec 12098  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-plusg 16577  df-0g 16714  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-sbg 18107  df-mgp 19239  df-ring 19298  df-lmod 19635  df-clm 23666  df-itv 26223  df-lng 26224  df-ttg 26659

This theorem is referenced by: (None)