MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttgitvval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttgitvval 25961
Description: Betweenness for a subcomplex Hilbert space augmented with betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ttgval.n 𝐺 = (toTG‘𝐻)
ttgitvval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ttgitvval.b 𝑃 = (Base‘𝐻)
ttgitvval.m = (-g𝐻)
ttgitvval.s · = ( ·𝑠𝐻)
Assertion
Ref Expression
ttgitvval ((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋𝐼𝑌) = {𝑧𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋))})
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,   𝑧, ·   𝑘,𝐻,𝑧   𝑃,𝑘,𝑧   𝑘,𝑉,𝑧   𝑘,𝑋,𝑧   𝑘,𝑌,𝑧
Allowed substitution hints:   · (𝑘)   𝐺(𝑧,𝑘)   𝐼(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem ttgitvval
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ttgval.n . . . . 5 𝐺 = (toTG‘𝐻)
2 ttgitvval.b . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐻)
3 ttgitvval.m . . . . 5 = (-g𝐻)
4 ttgitvval.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝐻)
5 ttgitvval.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
61, 2, 3, 4, 5ttgval 25954 . . . 4 (𝐻𝑉 → (𝐺 = ((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥𝑃, 𝑦𝑃 ↦ {𝑧𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥𝑃, 𝑦𝑃 ↦ {𝑧𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))})⟩) ∧ 𝐼 = (𝑥𝑃, 𝑦𝑃 ↦ {𝑧𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 𝑥))})))
76simprd 482 . . 3 (𝐻𝑉𝐼 = (𝑥𝑃, 𝑦𝑃 ↦ {𝑧𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 𝑥))}))
873ad2ant1 1128 . 2 ((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝐼 = (𝑥𝑃, 𝑦𝑃 ↦ {𝑧𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 𝑥))}))
9 simprl 811 . . . . . 6 (((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → 𝑥 = 𝑋)
109oveq2d 6829 . . . . 5 (((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → (𝑧 𝑥) = (𝑧 𝑋))
11 simprr 813 . . . . . . 7 (((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → 𝑦 = 𝑌)
1211, 9oveq12d 6831 . . . . . 6 (((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → (𝑦 𝑥) = (𝑌 𝑋))
1312oveq2d 6829 . . . . 5 (((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → (𝑘 · (𝑦 𝑥)) = (𝑘 · (𝑌 𝑋)))
1410, 13eqeq12d 2775 . . . 4 (((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → ((𝑧 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 𝑥)) ↔ (𝑧 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋))))
1514rexbidv 3190 . . 3 (((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → (∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 𝑥)) ↔ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋))))
1615rabbidv 3329 . 2 (((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → {𝑧𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 𝑥))} = {𝑧𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋))})
17 simp2 1132 . 2 ((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝑋𝑃)
18 simp3 1133 . 2 ((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝑌𝑃)
19 fvex 6362 . . . . 5 (Base‘𝐻) ∈ V
202, 19eqeltri 2835 . . . 4 𝑃 ∈ V
2120rabex 4964 . . 3 {𝑧𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋))} ∈ V
2221a1i 11 . 2 ((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) → {𝑧𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋))} ∈ V)
238, 16, 17, 18, 22ovmpt2d 6953 1 ((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋𝐼𝑌) = {𝑧𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3o 1071  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051  {crab 3054  Vcvv 3340  cop 4327  cfv 6049  (class class class)co 6813  cmpt2 6815  0cc0 10128  1c1 10129  [,]cicc 12371  ndxcnx 16056   sSet csts 16057  Basecbs 16059   ·𝑠 cvsca 16147  -gcsg 17625  Itvcitv 25534  LineGclng 25535  toTGcttg 25952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-dec 11686  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-sets 16066  df-itv 25536  df-lng 25537  df-ttg 25953
This theorem is referenced by:  ttgelitv  25962
  Copyright terms: Public domain W3C validator