MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttglem 26589
Description: Lemma for ttgbas 26590 and ttgvsca 26593. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ttgval.n 𝐺 = (toTG‘𝐻)
ttglem.2 𝐸 = Slot 𝑁
ttglem.3 𝑁 ∈ ℕ
ttglem.4 𝑁 < 16
Assertion
Ref Expression
ttglem (𝐸𝐻) = (𝐸𝐺)

Proof of Theorem ttglem
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ttgval.n . . . . . 6 𝐺 = (toTG‘𝐻)
2 eqid 2818 . . . . . 6 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
3 eqid 2818 . . . . . 6 (-g𝐻) = (-g𝐻)
4 eqid 2818 . . . . . 6 ( ·𝑠𝐻) = ( ·𝑠𝐻)
5 eqid 2818 . . . . . 6 (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
61, 2, 3, 4, 5ttgval 26588 . . . . 5 (𝐻 ∈ V → (𝐺 = ((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠𝐻)(𝑦(-g𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩) ∧ (Itv‘𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠𝐻)(𝑦(-g𝐻)𝑥))})))
76simpld 495 . . . 4 (𝐻 ∈ V → 𝐺 = ((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠𝐻)(𝑦(-g𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩))
87fveq2d 6667 . . 3 (𝐻 ∈ V → (𝐸𝐺) = (𝐸‘((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠𝐻)(𝑦(-g𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩)))
9 ttglem.2 . . . . . 6 𝐸 = Slot 𝑁
10 ttglem.3 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ
119, 10ndxid 16497 . . . . 5 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
1210nnrei 11635 . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℝ
13 ttglem.4 . . . . . . 7 𝑁 < 16
1412, 13ltneii 10741 . . . . . 6 𝑁16
159, 10ndxarg 16496 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) = 𝑁
16 itvndx 26153 . . . . . . 7 (Itv‘ndx) = 16
1715, 16neeq12i 3079 . . . . . 6 ((𝐸‘ndx) ≠ (Itv‘ndx) ↔ 𝑁16)
1814, 17mpbir 232 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ (Itv‘ndx)
1911, 18setsnid 16527 . . . 4 (𝐸𝐻) = (𝐸‘(𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠𝐻)(𝑦(-g𝐻)𝑥))})⟩))
20 1nn0 11901 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
21 6nn0 11906 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ0
22 7nn 11717 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℕ
23 6lt7 11811 . . . . . . . . 9 6 < 7
2420, 21, 22, 23declt 12114 . . . . . . . 8 16 < 17
25 6nn 11714 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℕ
2620, 25decnncl 12106 . . . . . . . . . 10 16 ∈ ℕ
2726nnrei 11635 . . . . . . . . 9 16 ∈ ℝ
2820, 22decnncl 12106 . . . . . . . . . 10 17 ∈ ℕ
2928nnrei 11635 . . . . . . . . 9 17 ∈ ℝ
3012, 27, 29lttri 10754 . . . . . . . 8 ((𝑁 < 16 ∧ 16 < 17) → 𝑁 < 17)
3113, 24, 30mp2an 688 . . . . . . 7 𝑁 < 17
3212, 31ltneii 10741 . . . . . 6 𝑁17
33 lngndx 26154 . . . . . . 7 (LineG‘ndx) = 17
3415, 33neeq12i 3079 . . . . . 6 ((𝐸‘ndx) ≠ (LineG‘ndx) ↔ 𝑁17)
3532, 34mpbir 232 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ (LineG‘ndx)
3611, 35setsnid 16527 . . . 4 (𝐸‘(𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠𝐻)(𝑦(-g𝐻)𝑥))})⟩)) = (𝐸‘((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠𝐻)(𝑦(-g𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩))
3719, 36eqtri 2841 . . 3 (𝐸𝐻) = (𝐸‘((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠𝐻)(𝑦(-g𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩))
388, 37syl6reqr 2872 . 2 (𝐻 ∈ V → (𝐸𝐻) = (𝐸𝐺))
399str0 16523 . . 3 ∅ = (𝐸‘∅)
40 fvprc 6656 . . 3 𝐻 ∈ V → (𝐸𝐻) = ∅)
41 fvprc 6656 . . . . 5 𝐻 ∈ V → (toTG‘𝐻) = ∅)
421, 41syl5eq 2865 . . . 4 𝐻 ∈ V → 𝐺 = ∅)
4342fveq2d 6667 . . 3 𝐻 ∈ V → (𝐸𝐺) = (𝐸‘∅))
4439, 40, 433eqtr4a 2879 . 2 𝐻 ∈ V → (𝐸𝐻) = (𝐸𝐺))
4538, 44pm2.61i 183 1 (𝐸𝐻) = (𝐸𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  w3o 1078   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  {crab 3139  Vcvv 3492  c0 4288  cop 4563   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  0cc0 10525  1c1 10526   < clt 10663  cn 11626  6c6 11684  7c7 11685  cdc 12086  [,]cicc 12729  ndxcnx 16468   sSet csts 16469  Slot cslot 16470  Basecbs 16471   ·𝑠 cvsca 16557  -gcsg 18043  Itvcitv 26149  LineGclng 26150  toTGcttg 26586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-dec 12087  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-sets 16478  df-itv 26151  df-lng 26152  df-ttg 26587
This theorem is referenced by:  ttgbas  26590  ttgplusg  26591  ttgvsca  26593  ttgds  26594
  Copyright terms: Public domain W3C validator