Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttukeyg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttukeyg 9283
 Description: The Teichmüller-Tukey Lemma ttukey 9284 stated with the "choice" as an antecedent (the hypothesis ∪ 𝐴 ∈ dom card says that ∪ 𝐴 is well-orderable). (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ttukeyg (( 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥(𝑥𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑦)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem ttukeyg
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3907 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴)
2 ttukey2g 9282 . . . . . 6 (( 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝑧𝐴 ∧ ∀𝑥(𝑥𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥𝐴 (𝑧𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑦))
3 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝑧𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑦) → ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑦)
43reximi 3005 . . . . . 6 (∃𝑥𝐴 (𝑧𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑦) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑦)
52, 4syl 17 . . . . 5 (( 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝑧𝐴 ∧ ∀𝑥(𝑥𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑦)
653exp 1261 . . . 4 ( 𝐴 ∈ dom card → (𝑧𝐴 → (∀𝑥(𝑥𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑦)))
76exlimdv 1858 . . 3 ( 𝐴 ∈ dom card → (∃𝑧 𝑧𝐴 → (∀𝑥(𝑥𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑦)))
81, 7syl5bi 232 . 2 ( 𝐴 ∈ dom card → (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥(𝑥𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑦)))
983imp 1254 1 (( 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥(𝑥𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑦)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036  ∀wal 1478  ∃wex 1701   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  ∃wrex 2908   ∩ cin 3554   ⊆ wss 3555   ⊊ wpss 3556  ∅c0 3891  𝒫 cpw 4130  ∪ cuni 4402  dom cdm 5074  Fincfn 7899  cardccrd 8705 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-fin 7903  df-card 8709 This theorem is referenced by:  ttukey  9284
 Copyright terms: Public domain W3C validator