MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttukeylem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttukeylem4 9278
Description: Lemma for ttukey 9284. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1 (𝜑𝐹:(card‘( 𝐴𝐵))–1-1-onto→( 𝐴𝐵))
ttukeylem.2 (𝜑𝐵𝐴)
ttukeylem.3 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴))
ttukeylem.4 𝐺 = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅)))))
Assertion
Ref Expression
ttukeylem4 (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐺   𝜑,𝑧   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐵,𝑧   𝑥,𝐹,𝑧
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem ttukeylem4
StepHypRef Expression
1 0elon 5737 . . 3 ∅ ∈ On
2 ttukeylem.1 . . . 4 (𝜑𝐹:(card‘( 𝐴𝐵))–1-1-onto→( 𝐴𝐵))
3 ttukeylem.2 . . . 4 (𝜑𝐵𝐴)
4 ttukeylem.3 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴))
5 ttukeylem.4 . . . 4 𝐺 = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅)))))
62, 3, 4, 5ttukeylem3 9277 . . 3 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ On) → (𝐺‘∅) = if(∅ = ∅, if(∅ = ∅, 𝐵, (𝐺 “ ∅)), ((𝐺 ∅) ∪ if(((𝐺 ∅) ∪ {(𝐹 ∅)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 ∅)}, ∅))))
71, 6mpan2 706 . 2 (𝜑 → (𝐺‘∅) = if(∅ = ∅, if(∅ = ∅, 𝐵, (𝐺 “ ∅)), ((𝐺 ∅) ∪ if(((𝐺 ∅) ∪ {(𝐹 ∅)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 ∅)}, ∅))))
8 uni0 4431 . . . . 5 ∅ = ∅
98eqcomi 2630 . . . 4 ∅ =
109iftruei 4065 . . 3 if(∅ = ∅, if(∅ = ∅, 𝐵, (𝐺 “ ∅)), ((𝐺 ∅) ∪ if(((𝐺 ∅) ∪ {(𝐹 ∅)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 ∅)}, ∅))) = if(∅ = ∅, 𝐵, (𝐺 “ ∅))
11 eqid 2621 . . . 4 ∅ = ∅
1211iftruei 4065 . . 3 if(∅ = ∅, 𝐵, (𝐺 “ ∅)) = 𝐵
1310, 12eqtri 2643 . 2 if(∅ = ∅, if(∅ = ∅, 𝐵, (𝐺 “ ∅)), ((𝐺 ∅) ∪ if(((𝐺 ∅) ∪ {(𝐹 ∅)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 ∅)}, ∅))) = 𝐵
147, 13syl6eq 2671 1 (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wal 1478   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  cdif 3552  cun 3553  cin 3554  wss 3555  c0 3891  ifcif 4058  𝒫 cpw 4130  {csn 4148   cuni 4402  cmpt 4673  dom cdm 5074  ran crn 5075  cima 5077  Oncon0 5682  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  recscrecs 7412  Fincfn 7899  cardccrd 8705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-wrecs 7352  df-recs 7413
This theorem is referenced by:  ttukeylem7  9281
  Copyright terms: Public domain W3C validator