Theorem tususp 22884

Description: A constructed uniform space is an uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
tuslem.k	⊢ 𝐾 = (toUnifSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
tususp	⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝐾 ∈ UnifSp)

Proof of Theorem tususp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋))
2		tuslem.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (toUnifSp‘𝑈)
3	2	tususs 22882	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝑈 = (UnifSt‘𝐾))
4	2	tusbas 22880	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝐾))
5	4	fveq2d 6677	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (UnifOn‘𝑋) = (UnifOn‘(Base‘𝐾)))
6	1, 3, 5	3eltr3d 2930	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (UnifSt‘𝐾) ∈ (UnifOn‘(Base‘𝐾)))
7	2	tusunif 22881	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝑈 = (UnifSet‘𝐾))
8	7	fveq2d 6677	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (unifTop‘𝑈) = (unifTop‘(UnifSet‘𝐾)))
9	2	tuslem 22879	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (𝑋 = (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 = (UnifSet‘𝐾) ∧ (unifTop‘𝑈) = (TopOpen‘𝐾)))
10	9	simp3d 1140	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (unifTop‘𝑈) = (TopOpen‘𝐾))
11	7, 3	eqtr3d 2861	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (UnifSet‘𝐾) = (UnifSt‘𝐾))
12	11	fveq2d 6677	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (unifTop‘(UnifSet‘𝐾)) = (unifTop‘(UnifSt‘𝐾)))
13	8, 10, 12	3eqtr3d 2867	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (TopOpen‘𝐾) = (unifTop‘(UnifSt‘𝐾)))
14		eqid 2824	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
15		eqid 2824	. . 3 ⊢ (UnifSt‘𝐾) = (UnifSt‘𝐾)
16		eqid 2824	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
17	14, 15, 16	isusp 22873	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ UnifSp ↔ ((UnifSt‘𝐾) ∈ (UnifOn‘(Base‘𝐾)) ∧ (TopOpen‘𝐾) = (unifTop‘(UnifSt‘𝐾))))
18	6, 13, 17	sylanbrc 585	1 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝐾 ∈ UnifSp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6358  Basecbs 16486  UnifSetcunif 16578  TopOpenctopn 16698  UnifOncust 22811  unifTopcutop 22842  UnifStcuss 22865  UnifSpcusp 22866  toUnifSpctus 22867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-tset 16587  df-unif 16591  df-rest 16699  df-topn 16700  df-ust 22812  df-utop 22843  df-uss 22868  df-usp 22869  df-tus 22870

This theorem is referenced by:  cmetcusp  23960