MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txbasex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txbasex 21571
Description: The basis for the product topology is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
txval.1 𝐵 = ran (𝑥𝑅, 𝑦𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦))
Assertion
Ref Expression
txbasex ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → 𝐵 ∈ V)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem txbasex
StepHypRef Expression
1 txval.1 . . . 4 𝐵 = ran (𝑥𝑅, 𝑦𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦))
2 eqid 2760 . . . 4 𝑅 = 𝑅
3 eqid 2760 . . . 4 𝑆 = 𝑆
41, 2, 3txuni2 21570 . . 3 ( 𝑅 × 𝑆) = 𝐵
5 uniexg 7120 . . . 4 (𝑅𝑉 𝑅 ∈ V)
6 uniexg 7120 . . . 4 (𝑆𝑊 𝑆 ∈ V)
7 xpexg 7125 . . . 4 (( 𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → ( 𝑅 × 𝑆) ∈ V)
85, 6, 7syl2an 495 . . 3 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ( 𝑅 × 𝑆) ∈ V)
94, 8syl5eqelr 2844 . 2 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → 𝐵 ∈ V)
10 uniexb 7138 . 2 (𝐵 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V)
119, 10sylibr 224 1 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → 𝐵 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340   cuni 4588   × cxp 5264  ran crn 5267  cmpt2 6815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334
This theorem is referenced by:  txbas  21572  eltx  21573  txtopon  21596  txopn  21607  txss12  21610  txbasval  21611  txrest  21636  sxsiga  30563  elsx  30566  mbfmco2  30636
  Copyright terms: Public domain W3C validator