MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txuni 21305
Description: The underlying set of the product of two topologies. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
txuni.1 𝑋 = 𝑅
txuni.2 𝑌 = 𝑆
Assertion
Ref Expression
txuni ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑋 × 𝑌) = (𝑅 ×t 𝑆))

Proof of Theorem txuni
StepHypRef Expression
1 txuni.1 . . . 4 𝑋 = 𝑅
21toptopon 20648 . . 3 (𝑅 ∈ Top ↔ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
3 txuni.2 . . . 4 𝑌 = 𝑆
43toptopon 20648 . . 3 (𝑆 ∈ Top ↔ 𝑆 ∈ (TopOn‘𝑌))
5 txtopon 21304 . . 3 ((𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
62, 4, 5syl2anb 496 . 2 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
7 toponuni 20642 . 2 ((𝑅 ×t 𝑆) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) → (𝑋 × 𝑌) = (𝑅 ×t 𝑆))
86, 7syl 17 1 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑋 × 𝑌) = (𝑅 ×t 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   cuni 4402   × cxp 5072  cfv 5847  (class class class)co 6604  Topctop 20617  TopOnctopon 20618   ×t ctx 21273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-topgen 16025  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-tx 21275
This theorem is referenced by:  txunii  21306  txcld  21316  neitx  21320  uptx  21338  txcn  21339  txdis  21345  txnlly  21350  txcmp  21356  txcmpb  21357  hausdiag  21358  txhaus  21360  tx1stc  21363  txkgen  21365  txconn  21402  imasnopn  21403  imasncld  21404  imasncls  21405  utop2nei  21964  utop3cls  21965  qtophaus  29682  txpconn  30919
  Copyright terms: Public domain W3C validator